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Oscillateur électrique
Bonjour !
J'ai pas mal de difficulté en électricité et ce problème, dès la première ligne je bloque.
Soit le circuit ci joint : condensateur parfait de capacité C, inductance L de résistance r et générateur de tension continue U0 Le commutateur est initialement en position (1). Le condensateur est donc chargé sous la tension U0
A l'instant t=0 le commutateur est basculé dans la position (2) On note q(t) la charge portée par l'armature (A) du condensateur et i(t) l'intensité du courant dans le circuit.
1/a) Em est l'énergie électromagnétique du circuit, elle correspond à l'énergie stockée à un instant t dans le condensateur et la bobine sous forme magnétique. Exprimer Em en fonction de q(t), i(t), L et C.
b) Justifier que Em diminue au cours du temps et exprimer sa dérivée en fonction de r et i(t) [Ca devrait aller une fois que j'aurais réussi la première =)]
c) En déduire l'équa diff qui régit la charge q(t) dans le circuit
2/a) Donner la condition sur Q0 le facteur de qualité du circuit pour que la solution représente des oscillations amorties. [Ca devrait passer]
b)Donner l'expression de la pseudo-période T dans ce cas, comparer à T0 la période propre du circuit et commenter.
Voilà tout l'exercice mais pour le moment pourriez vous juste m'aider à démarrer s'il vous plait ? =)
Bonjour.
Q1) Énergie électromagnétique
Depuis votre Tle S (je suppose), vous savez que :
Eélect.(t) = EC(t) + EL(t) = (1/2).C.uC(t)² + (1/2) L.i(t)²
De plus, vous savez que uC(t) = q(t)/C
A partir de là, vous remplacez dans votre expression de Em et vous aurez Em exprimée en fonction de q(t), i(t), L et C ! 
Q2) Perte d'énergie
Souvenir de Tle S également...
La bobine n'étant pas parfaite, elle possède une résistance interne r.
Une résistance dissipe de l'énergie sous forme d'effet Joule (Chaleur) tel que P(t) = r.i(t)²
Votre perte d'énergie électromagnétique (ou électrique, si vous préférez) est donc celle perdue dans la résistance.
Je vous rappelle également la formule liant la puissance et l'énergie :
E(t) = P(t)
t ou sous la forme de variation dE(t)/dt = P(t)
Don à partir de là, dEm(t)/dt = - r.i²(t) ('-' parce que énergie perdue par le système)
Q3) Equation différentielle en q(t)
Tu as donc :
dEm(t)/dt = -r.i(t)² = d( (1/2).C.uC(t)² + (1/2) L.i(t)² )/dt
Tu dérives... et ça devrait te conduire à l'équation différentielle d'ordre 2 en q(t)...
Q4) Facteur de qualité Q0
Il se définit ainsi : Q0 = L.
0/R
et pour avoir des oscillations libres, il faut que le terme de ton équation différentielle comportant r disparaisse, sinon il y a amortissement.
En faisant le lien entre les deux, voit quelle doit être la valeur de Q0 pour annuler ce terme... (Je te laisse chercher un peu...)
Voilà pour bien démarrer...
Bonjour !
Tout d'abord merci beaucoup, heureusement que je ne vous ai pas donné tout l'exercice, vous m'auriez tout fait, je n'en demandais pas tant. Merci beaucoup =)
Un dernière petite question. La pseudo période T c'est bien 2pi/w avec w la pseudo pulsation du circuit ?
Je dois ensuite trouver les analogues électrique des grandeurs mécaniques.
Pour le coeff de rapel élastique k j'ai mis C/2, ça vous parait cohérent ou bien le 1/2 n'est pas nécessaire ?
Et il y a aussi l'énergie cinétique du mobile, l'énergie potentielle élastique du ressort et la puissance dissipée par frottements... Pour cette dernière je serais tentée de mettre r*i(t)2 mais...
Le reste j'avoue que je suis un peu perdue.
De plus les coordonnées de position x deviennent les q : ce sont les charges des armatures du condensateur ou bien autre chose de plus général ?
Alors, dans l'ordre...
heureusement que je ne vous ai pas donné tout l'exercice, vous m'auriez tout fait
Non rassurez-vous, je ne vous aurais pas tout corrigé !
La pseudo période T c'est bien 2pi/w avec w la pseudo pulsation du circuit ?
Oui !
il suffisait bien de remplacer i par dq/dt pour trouver l'équa diff ??
Oui, parce sinon, comment vous seriez-vous débarrasser des termes en i(t) ?
Analogie mécanique du ressort horizontal et électrique
les coordonnées de position x deviennent les q : ce sont les charges des armatures du condensateur
Oui, ce sont bien les charges q.
Donc on fait l'analogie entre déplacement X et quantité de charge q.
On va exprimer les énergies électriques en fonction de q et les énergies mécaniques en fonction de X.
(pour rester cohérent avec X
Ainsi :
Pour le coeff de rapel élastique k j'ai mis C/2, ça vous parait cohérent ou bien le 1/2 n'est pas nécessaire ?
Ep élast. = (1/2).k.X²
EC = (1/2).q²/C
Donc non, C est analogue à (1/k).
Et il y a aussi l'énergie cinétique du mobile
Ecinét. = (1/2).m.v² = (1/2).m.(dX/dT)²
EL = (1/2).L.i² = (1/2).L.(dq/dt)²
Donc L est analogue à m.
la puissance dissipée par frottements...
Vous avez raison... r est analogue au coefficient de frottement f
Quant aux périodes :
Tméca. = 2
(m/k) (LC)
Tout est repris ici sous forme de tableau :
D'autres questions ?
Merci beaucoup ! J'avais mis ça intuitivement et là je comprends vraiment pourquoi =)
Merci beaucoup pour toute votre aide. J'ai posté un autre problème, celui d'un oscillateur amorti mais en fait le fond de mon problème pour ce nouvel exo c'est : ai-je le droit d'utiliser mes calculs précédents ? Parce que ce n'est que des calculs à partir de données et je ne vois pas comment faire autrement qu'utiliser ces "approximations"... Enfin voilà là ça doit pas être clair du tout =)
Encore merci en tout cas !
Faites-vous référence à cet exercice, par hasard ? 
Oscillateur harmonique
Si c'est bien le cas, j'essayerai d'y jeter un œil plus approfondi...
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