Bonjour,

On considère un point matériel M de masse m se déplaçant sur un cercle de rayon R dans le champ de pesanteur uniforme g=g. On repère la position de M par l'angle =(,OM).
On néglige ici les frottements. Le point matériel est maintenant également fixé à un ressort de longueur au repos l₀<R et de raideur k. L'autre extrémité du ressort peut glisser sans frottement sur une tige fixe horizontale confondue avec l'axe Ox. Le ressort reste toujours vertical, se déplaçant uniquement perpendiculairement à la tige. On suppose que la relation mg<k(R-l₀) est toujours vérifiée.

1) Faire le bilan des forces qui s'exercent sur le point matériel M.

P le poids, R la réaction du cercle sur la masse et F la force du ressort sur la masse

2) Exprimer l'énergie potentielle E_p totale correspondante à ces intéractions.

E_p = mgR(1-cos()) + 1/2 * k(R(1-cos())-l₀)²

3) Quelles sont les positions d'équilibres ? S'agit-il d'équilibres stables ou instables ?

C'est là où je commence à douter. Il me semble qu'il faut dériver l'énergie potentielle par rapport à et lorsque cette dérivée est égale à 0, cela correspond à un équilibre (stable si la dérivée seconde est positive, instable si elle est négative)
Mais justement je doute de ma méthode car lorsque je fais les dérivées je trouve des formules étranges, est-ce normal ?

On note =_c la position d'équilibre stable telle que 0<_c</2
4) Que peut-on dire de la réaction du cerceau à l'équilibre en =_c ?

On donne le développement limité à l'ordre 2 autour de =_c de la fonction Ep() :
Ep() = Ep(_c) + dEp(c)/d * (-_c) + d²Ep(c)/d² * (-_c)²/2
où l'expression dⁱEp(c)/dⁱ est une constante, égale à la valeur de la fonction dérivée i^ème pour =_c.

5) Établir l'équation différentielle vérifiée par pour de petites oscillations de _c.

Suffit-il simplement de remplacer dans la formule donnée par l'énonce les Ep et ses dérivées ?

6) Quelle est l'expression générale de la solution de cette équation différentielle ? A quoi correspond le terme k/m * (sin_c)² ?

Je n'ai pas encore réfléchi à cette question, j'attends de finir celle d'avant

Merci d'avance pour toute aide !