Niveau maths spé

Ordonnée d'un point d'une roue qui tourne en tombant

Posté par
plums 23-06-12 à 16:18

Bonjour !

Voilà mon problème : on imagine roue qui tombe en tournant autour de (Oz) et on la regarde de "profil" (uz part vers l'arrière) on considère un point M de la périphérie de la roue.
je n'arrive pas à visualiser quelle pourrait être la courbe représentant l'ordonnée de M en fonction du temps? (même approximativement)

Merci !

Posté par re : Ordonnée d'un point d'une roue qui tourne en tombant 23-06-12 à 19:32

Bonjour,

Intuitivement je dirais que la trajectoire ressemble à un ressort qu'on étire de plus en plus (puisque la chute s'accélère (mais jusqu'à un certain point)).

On peut pour avoir une idée générale considérer un cas très simple :

On appelle G le centre d'inertie de la roue, et on la paramètre ainsi :

$Ordonnée d\'un point d\'une roue qui tourne en tombant$

On suppose qu'elle n'est soumise qu'à son poids.
On suppose que l'axe de chute est perpendiculaire à l'axe de rotation.

Conditions initiales :

$\theta(t=0)=0$
$\dot{\theta}(t=0)=\omega$
$z(t=0)=h$
$\dot{z}(t=0)=0$

Alors on obtient :

$z_G(t)=\frac{1}{2}gt^2+h$

Le théorème du moment cinétique appliqué dans le référentiel barycentrique de la roue ( $Gxyz$ ) en G donne :

$\frac{mR^2}{2}\ddot{\theta}=0$ donc $\dot{\theta}(t)=\omega$ pour tous t. Puis $\theta(t)=\omega t$

On en déduit les coordonnées de P :

$\boxed{\Large\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GP}=(\frac{g}{2}t^2+h+\cos(\omega t))\vec{u_z}+\sin(\omega t)\vec{u_y}}$

Puis Maple donne :

$Ordonnée d\'un point d\'une roue qui tourne en tombant$

Posté par re : Ordonnée d'un point d'une roue qui tourne en tombant 24-06-12 à 07:28

j'en demandais pas tant, mais c'est parfait, merci beaucoup !!

Posté par re : Ordonnée d'un point d'une roue qui tourne en tombant 24-06-12 à 07:52

une dernière question! : en projetant sur uz j'obtiens z(t) = g/2 t² + h + cos(xt)... qui est une fonction croissante de t pour t>0 ?!

Posté par re : Ordonnée d'un point d'une roue qui tourne en tombant 24-06-12 à 16:43

oui j'ai d'ailleurs écris la même chose (mal tapé) :

si on met l'axe des $z$ vers le haut, alors on a (PFD) $m\ddot{z}=-mg$ d'où au final :

$\Large z_P(t)=\red{-}$ $\Large\frac{g}{2}t^2+h+R\cos(\omega t)$

(dans mon message précédent j'ai pris R=1 pour les calculs).

Alors en t=0 on a bien $z_P(0)=h+R$ .

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