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Orbites satellitaires

Posté par
sheigh 22-12-17 à 10:49

Bonjour à tous et toutes,

Voici un début d'exercice où je pêche un peu.

Le référentiel R est supposé galiléen, son origine T coïncide avec le centre de masse de la Terre. La Terre est assimilée à un corps parfaitement sphérique si bien que le champ de gravitation qu'elle crée est le même si toute la masse Mt était concentré en son centre T.

1) rappelez les expressions polaires de la vitesse v et l'accélération a en fonction de r, \theta et de leurs dérivées et vecteurs unitaires er, e\theta.
là, ok.

2) Exprimer la force de gravitation FT exercée par la Terre sur un corps ponctuel de masse m situé à la distance r du centre d el'astre. On note G, la constante de gravitation universelle.
Ok aussi.

3) Appliquer le principe fondamental de la physique à un corps ponctuel soumis à la seule force de gravitation exercée en 2. On notera I et II les 2 équations sur er et e\theta.
Ok aussi

4) On a donc :
I : r2*(r\theta'2-r'') = G*MT
II : r\theta''+2*r'*\theta'=0

Déduire de II que la quantité r2*\theta' reste constante au cours du mouvement (intégrale première). Dans la suite de cette partie, on posera : r2*\theta= C (constante >0)

ici je comptais intégrer II , donc :

r*\theta'+2*r'*\theta = 0
puis je multiplie par r :
r2*\theta'+2*r*r'*\theta = 0

Je vois bien l'expression demandée mais comment dire que cela reste constant, je ne vois pas.
Je vous remercie par avance.

Posté par
J-Pre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 12:13

II) : 2.dr/dt * dtheta/dt + r.d²theta/dt² = 0

poser dtheta/dt = z

2.dr/dt * z + r.dz/dt = 0

2.dr * z + r.dz = 0

2.dr * z = - r.dz

2.dr/r = - dz/z

2.ln|r| = - ln|k.z| (avec k une constante)

r² = 1/(k.z)

r².z = 1/k

r².dtheta/dt = 1/k

r².dtheta/dt = constante

Sauf distraction.  

Posté par
sheighre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 13:23

Merci pour votre réponse, cependant j'aurai quelques questions, afin de mieux comprendre la démarche :

2.dr/dt * z + r.dz/dt = 0

2.dr * z + r.dz = 0

Je ne savais que cela était possible, le passage de la première à la deuxième ligne, c'est une simplification des dt? Je ne comprends pas.

2.ln|r| = - ln|k.z| (avec k une constante)
Pourquoi la nécessité de mettre un "k" ?

Posté par
J-Pre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 13:42

C'est ce que certains mathématiciens appellent une résolution à la "physicienne"...

Cette manière de faire a été légitimée par la théorie mathématique de l'ANS (analyse non standard)

dr , dz, dt sont (pour cette théorie) des" infiniment petits" sur lesquels on peut effectuer des opérations classiques (multiplication, division ...)




Posté par
J-Pre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 13:47

Citation :
2.ln|r| = - ln|k.z| (avec k une constante)
Pourquoi la nécessité de mettre un "k" ?


Dérive les 2 membres ... et vérifie que tu retombes bien sur "2.dr * z + r.dz = 0 "
-----------------
Vois déjà ceci :

ln|kz| = ln|z| + ln|k|

(ln|kz|)' = (ln|z| + ln|k|)'

(ln|kz|)' = (ln|z|)' + (ln|k|)'

ln|k| étant une constante, (ln|k|)' = 0 et donc :

(ln|kz|)' = (ln|z|)'

Posté par
sheighre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 14:10

D'accord, je vous remercie, je remets le nez dedans!

Posté par
vanoisere : Orbites satellitaires 22-12-17 à 14:29

Bonjour sheigh
Tu est arrivé au résultat :

r.\ddot{\theta}+2\dot{r}.\dot{\theta}=0\;\forall t

Ton idée de multiplier par r les deux termes est excellente :

r^{2}.\ddot{\theta}+2r.\dot{r}.\dot{\theta}=0\;\forall t

Il suffit alors de remarquer très simplement :

\frac{d\left(r^{2}.\ddot{\theta}+2r.\dot{r}.\dot{\theta}\right)}{dt}=\frac{d\left(r^{2}.\dot{\theta}\right)}{dt}

Donc :

\frac{d\left(r^{2}.\dot{\theta}\right)}{dt}=0\;\forall t

Soit : \boxed{r^{2}.\dot{\theta}=constante}

Ce résultat peut être obtenu encore plus directement en raisonnant sur la conservation du moment cinétique au centre O de la terre de la masse m mais cela n'est peut-être pas à ton programme.

Posté par
vanoisere : Orbites satellitaires 22-12-17 à 15:31

Désolé : j'ai posté avant de me relire attentivement (problème de "copier-coller" ) : la troisième formule est bien sûr :

r^{2}.\ddot{\theta}+2r.\dot{r}.\dot{\theta}=\frac{d\left(r^{2}.\dot{\theta}\right)}{dt} \\

Posté par
J-Pre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 15:38

Tous les chemins mènent à Rome.

J'aurais quant même plutôt écrit :

...

Il suffit alors de remarquer très simplement :

\left(r^{2}.\ddot{\theta}+2r.\dot{r}.\dot{\theta}\right)=\frac{d\left(r^{2}.\dot{\theta}\right)}{dt}

...

Posté par
J-Pre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 15:38

Trop tard.  

Posté par
sheighre : Orbites satellitaires 22-12-17 à 15:41

Je vous remercie Vanoise, ce procédé me parle davantage, je me disais bien que multiplier par r n'étais pas une mauvaise idée.

Posté par
sheighre : Orbites satellitaires 26-12-17 à 10:37

Bonjour à tous et toutes,

Pour continuer ce problème, on doit déduire des résultats établis précédemment , c'est à dire :
I : r2*(r\theta'2-r'') = G*MT
r2*\theta'+2*r*r'*\theta = 0
et (1) : r2*\theta'= C

que le mouvement radial du corps décrit par la distance r(t) est solution de l'équation différentielle du deuxième ordre :

(2) m*d2r/dt2 = mr'' = F(r)
où F(r) est une "force généralisée" qui dérive de l'énergie potentielle "effective" Ep,ef(r):
(3) Ep,ef(r):m*C2/2*r2- (G*MT*m)/r

Donc je pars de (I) d'où je sors r'', ce qui me donne : r'' = r*\theta'2-(G*MT*m)/r2, en remplaçant par r2*\theta= C et en ajoutant m , j'ai donc :
m*r'' = (m*C*r*\theta'-G*MT*m)/r2

Puis en rappelant F*dr = -dEp, donc F(r) = -dEp/dr, je me demande que faire pour poursuivre en espérant que jusque là c'est bon.

Je vous remercie par avance.

Posté par
vanoisere : Orbites satellitaires 26-12-17 à 14:54

Bonjour
Il y a une astuce de calcul qui ne s'improvise pas nécessairement... Il faut partir de l'expression de l'accélération déjà obtenue en 4 en pensant à faire intervenir la variable (1/r) et en tenant compte de l'expression de la constante des aires.

r.\dot{\theta}^{2}=r.\frac{C^{2}}{r^{4}}=\frac{C^{2}}{r^{3}}

\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\cdot\frac{C}{r^{2}}=-C\frac{d\left(\frac{1}{r}\right)}{d\theta}

\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{d\dot{r}}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}=\frac{d\dot{r}}{d\theta}\cdot\frac{C}{r^{2}}=\frac{C}{r^{2}}\cdot\frac{d}{d\theta}\left(-C\frac{d\left(\frac{1}{r}\right)}{d\theta}\right)=-\frac{C^{2}}{r^{2}}\cdot\frac{d^{2}\left(\frac{1}{r}\right)}{d\theta^{2}}

En reportant dans ton équation obtenue en 4) :

\frac{d^{2}\left(\frac{1}{r}\right)}{d\theta^{2}}+\frac{1}{r}=\frac{G.M_{T}}{C^{2}}

La grandeur u=\frac{1}{r}  peut être considérée comme une fonction de la variable \theta  et vérifie une équation différentielle du second ordre particulièrement simple. Je te laisse continuer. Tu pourras si nécessaire trouver un peu d'aide ici, paragraphe V.2, page 5 et suivantes...


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