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Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène

Posté par
nxk-YANG 04-08-15 à 16:40

Bonjour,

J'ai un exercice sur la trajectoire d'un rayon lumineux avec des notions de maths, juste ce qu'il faut pour me noyer. Je ne sais pas si ça comprend le principe de Fermat que je n'ai pas encore assimilé.

Voici l'exposer:
On considère un milieu stratifié non homogène dont l'indice décroît entre 2 niveaux.
Pour deux niveaux i et j, i<j et ni>nj
On note i l'angle entgre le rayon qui se propage dans la couche d'indice ni et le vecteur ex

1- Relier les couples (ni, i) et (nj,j). Desssiner la trajectoire du rayon lumineux sur le schéma.

2- Afin de déterminer l'équation différentielle de la trajectoire du rayon lumineux, on rend la stratification infiniment fine : on tend vers un milieu continu. À l'ordonnée y, l'indice de réfraction est n(y) et l'angle entre le rayon et le vecteur \overrightarrow{e_x} est noté (y). Le point M(x, y) décrit la trajectoire du rayon lumineux, on note s son abscisse curviligne, c'est-à-dire la longueur de la trajectoire OM, et \overrightarrow{e_s} le vecteur unitaire tangent à la trajectoire.
Ainsi en tout point M de la trajectoire, on a :
ds\overrightarrow{e_s} = dx\overrightarrow{e_x} + dy\overrightarrow{e_y}
avec \overrightarrow{e_s} = cos[(y)]\overrightarrow{e_x} + sin[(y)]\overrightarrow{e_y}

Montrer qu'il existe une quantité C0 constante vérifiantC0 = n(y) cos(y) en tout point M de la trajectoire puis exprimer n(y) en fonction de C0, ds et dx (remarque: la quantité invariante peut être définie en O).

3- Montrer que la courbe C correspond à la solution de l'équation \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dy}(-\frac{n^2}{\beta^2}) où l'on exprimera en fonction de C0.

4- L'indice du milieu s'écrit sous la forme n^2(y) = n_0^2 + ky^2 où n0 et k sont deux constantes réelles. Déterminer, selon le signe de k, l'expression de la trajectoire y=y(x)  passant par l'origine O de coordonnées x = 0 et y = 0. On exprimera y(x) en fonction de x, 0 , k et n0 . Quel est le signe de k dans le cas d'un mirage et dans le cas d'une fibre optique ?

================================================================
Je pense avoir une idée pour le tracer de la courbe. Quand on va vers x, l'angle diminue.

Pour la question 2, j'ai pensé appliquer les lois de Descartes et poser nisin(i) = njsin(j) = n(j+j) sin(j+j) mais mon raisonnement s'arrête là.

Si vous pouvez me débloquer des pistes de réflexions, je serais très contente.

Merci.

Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 04-08-15 à 17:09

Bonjour

Attention, dans ce cas, vu comment les angles sont définis, la loi de Descartes donne plutôt :

n_j.sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha_j) = n_i.sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha_i)

Et je suis sûr que tu connais (ou qu'une rapide recherche sur Internet te permettra de t'en souvenir) que sin(\dfrac{\pi}{2}-x) peut également s'exprimer en fonction du cosinus. Écris alors la loi de Descartes que tu obtiens (et qui fera apparaître des cosinus), et tu te rendras vite compte que l'on peut trouver facilement ce que vaut cette quantité C_0

Ensuite, vois-tu une relation trigonométrique entre : dx, cos(\alpha) et ds ? Si ce n'est pas le cas, fais un petit schéma et ça devrait t'apparaître. Or tu connais à ce stade une relation entre cos(\alpha), C_0 et n(y) donc tu devrais vite trouver la relation demandée dans la question 2)

On passera ensuite aux questions suivante si tu le veux.

Florian

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 04-08-15 à 17:09

Bonjour,
Comme dans de nombreux problèmes, la réponse à la question 1 est quasiment fournie dans la suite (d'où l'intérêt de bien lire la totalité d'un énoncé avant de se lancer dans la résolution d'un problème...).
Les lois de Descartes et les relations simples entre les angles d'incidences dues au parallélisme des dioptres doit conduire à :
ni.cos(i)= nj.cos(j), i,j.
Attention : l'angle ne représente pas un angle d'incidence mais son complémentaire !
Ensuite : le raisonnement précédent impose-t-il une condition restrictive sur l'épaisseur des strates ?
Ensuite : il existe une relation simple entre dy/dx et tan().
Ensuite : ce sont des mathématiques puis un retour à la physique avec les applications pratiques.

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 04-08-15 à 17:12

Désolé Florian : ta réponse a été postée pendant que je rédigeais la mienne ! Ouf : je ne crois pas qu'il y ait de contradiction entre les deux réponses !

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 04-08-15 à 17:28

Il n'y a pas de mal vanoise. Tant que nos explications pointent vers le même raisonnement (ce qui est le cas ), alors tout va bien.

Posté par
nxk-YANGre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 04-08-15 à 18:04

Il n'y a vraiment rien à faire, je n'arrive pas à
\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dy}(-\frac{n^2}{\beta^2})
avec C0 = n(y) cos(y)
et ds\overrightarrow{e_s} = dx\overrightarrow{e_x} + dy\overrightarrow{e_y} avec  \overrightarrow{e_s} = cos[(y)]\overrightarrow{e_x} + sin[(y)]\overrightarrow{e_y}

Tout est emmêlé dans ma tête.
Je vais y revenir plus tard.

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 04-08-15 à 18:09

Vois-tu mieux comme ça la relation entre dx, cos(\alpha) et ds ?

Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène

Posté par
nxk-YANGre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 08:44

Si je comprend, étant donné C0 = n(y) cos(y)
Je détermine n(y) = \frac{C_0}{cos[\alpha(y)]}
Comme cos[\alpha(y)] = \frac{dx}{ds}, en projetant l'équation sur les axes x et y,
j'en déduis cos[\alpha(y)] = \frac{dx}{\sqrt{dx^2+dy^2}} d'où n(y) = C_0\frac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{dx}

Je sens qu'il ne me manque pas grand chose mais je tourne en rond.

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 09:46

En faite, tu as même fais une étape en trop

On te demande d'exprimer n(y) en fonction de ds, dx et C_0. Or comme tu l'as dis à juste titre on a :

n(y) = \dfrac{C_0}{cos(\alpha(y))} et cos(\alpha(y)) = \dfrac{dx}{ds}

Donc au final on a :

\boxed{n(y) = \dfrac{C_0*ds}{dx}}

Florian

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 09:51

Ah, et encore autre chose, vanoise et moi-même t'avions fait la remarque mais juste pour être sûr que tu n'écrives pas quelque chose de faux sur ta feuille, la relation demandé à la question 1 fait intervenir les cosinus et non les sinus :

\boxed{n_j * cos(\alpha_j) = n_i * cos(\alpha_i)}

(d'où ma remarque à 17:09 hier, sin(\dfrac{\pi}{2}-x) = cos(x) )

Posté par
nxk-YANGre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 10:00

En réalité, ça m'a tellement travaillé que j'ai eu du mal à dormir alors j'ai attaqué ce matin pas très réveillée. Depuis, j'ai pris mon petit déj et c'est déjà plus clair.

Je vous remercie de votre patience.

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 12:13

Il n'y a pas de problème Et as-tu compris à quoi correspond la constante C_0 ?

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 12:14

Bonjour,
Juste une piste de recherche : compte tenu de la relation entre \frac{dy}{dx}, tan() et cos(), tu as sans doute intérêt à trouver d'abord l'équation différentielle vérifiée par (\frac{dy}{dx})^2. Tu obtiendras ensuite le résultat recherché par dérivation par rapport à x.

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 13:41

En suivant la méthode proposée par vanoise je me pose une question, l'équation différentielle à vérifie est-elle bien :

\dfrac{d^2 y}{dx^2} = -\dfrac{d}{dy}(-\dfrac{n^2}{\beta^2})

Ou bien est-ce :

\dfrac{d^2 y}{dx^2} = -\dfrac{d}{dx}(-\dfrac{n^2}{\beta^2})

?

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 14:32

Sauf erreur de ma part, voici mon raisonnement :
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}-1=\frac{n^{2}}{C_{0}^{2}}-1$
$2\cdot\left(\frac{dy}{dx}\right)\cdot\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)=\left(\frac{1}{C_{0}^{2}}\cdot\frac{d(n^{2})}{dx}\right)=$$\frac{1}{C_{0}^{2}}\cdot\left(\frac{d(n^{2})}{dy}\right)\cdot\left(\frac{dy}{dx}\right)$ \\
Premier cas envisageable :
$\frac{dy}{dx}=0\;\forall x$
Cette solution correspond au cas particulier 0=0 : la lumière se propage en ligne droite parallèlement à l'axe (Ox).
Deuxième cas  obtenu en posant : =C02 :
$\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)=\frac{1}{\beta^{2}}\cdot\left(\frac{d(n^{2})}{dy}\right)$
À part la succession des deux signes"-" dont je ne vois pas trop l'intérêt (sauf peut-être pour des étudiants habitués à résoudre des équations différentielles de la forme : y" = -2.y), je ne vois pas d'erreur dans l'énoncé.

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 15:47

Au temps pour moi vanoise, j'avais simplement dérivé sur mon brouillon \dfrac{dy}{dx} par rapport à x ce qui me donnait du \dfrac{d^2y}{dx^2}, j'avais complètement oublié le carré d'une ligne à l'autre...

Désolé pour le message de 13:41 du coup, il n'a pas lieu d'être.

Florian

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 17:27

Pas de problème Florian : tout le monde (surtout moi) peut commettre une erreur ou étourderie (enfin : presque tout le monde...).
nxk-YANG n'a plus qu'à bien assimiler ces indications...

Posté par
nxk-YANGre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 18:59

J'ai eu du monde ce midi et il sont parti vers 17h00 alors je n'ai toujours pas fini.
Bien reprenons par étape.

Je suis repartie de
n_i.sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha_i) = n_j.sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha_j)
Qui donne n_i.cos(\alpha_i) = n_j.cos(\alpha_j)
Qui permet d'établir la relation n_0.cos(\alpha_0) = n_1.cos(\alpha_1)=...=n_k.cos(\alpha_k) = n(y).cos[\alpha(y)]
D'où \boxed{C_0 = n(y).cos[\alpha(y)]} qui correspond à la quantité de réfraction.

Puis de là je détermine n(y) en fonction de C0, ds, dx
Comme cos[\alpha(y)] = \frac{dx}{ds}
C_0 = n(y).\frac{dx}{ds}
\boxed{n(y) = \frac{C_0*ds}{dx}}

Ensuite pour vérifier l'équation \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dy}(-\frac{n^2}{\beta^2})

J'ai cherché à faire sauté ds de l'expression et tenté d'avoir une forme avec quelque chose du genre \dfrac{dy}{dx} histoire de me rapprocher de l'équation.
Avec ma tambouille de ce matin, j'ai posé ds = \sqrt{dx^2+dy^2}
Ce qui m'a permis d'écrire n(y) = C_0*\dfrac{\sqrt{dx^2+dy^2}}{dx}
Et puis j'ai griffonné, fait des boulettes de papiers...pour pondre
n(y)^2 = C_0^2*\dfrac{dx^2+dy^2}{dx^2} = (1+\frac{dy^2}{dx^2})C_0 <=> (\frac{n(y)}{C_0})^2 = (1+\frac{dy^2}{dx^2})

Ensuite j'ai dérivée par rapport à x comme vanoise

Je n'ai su que faire de la relation tan(), cos() que vous me proposez
Bien que je sois d'accord avec
$\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}-1=\frac{n^{2}}{C_{0}^{2}}-1$
car tan(\alpha)=\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} <=> tan(\alpha)^2=\frac{sin(\alpha)^2}{cos(\alpha)^2} et cos(\alpha)^2 + {sin(\alpha)^2 = 1

Du coup, je suis arrivée à la dernière question de mon exercice
J'ai commencé à faire \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dy}(-\frac{n^2}{\beta^2}) <=> \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{d}{dy}(-\frac{(n_0^2 + ky^2)}{\beta^2})

C'est laborieux. Je sens que ma tête va encore travaillé toute la nuit.
Encouragez-moi

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 05-08-15 à 22:35

Le plus dur est fait ! tu connais certainement l'expression de la dérivée de y2 par rapport à y !
Tu vas tomber sur une équation différentielle du second ordre très classique ! Attention tout de même au signe !

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 14:56

J'espère que nxk-YANG n'a pas abandonné si près du but ! Je me demande si le concepteur de l'énoncé n'est pas allé un peu trop loin dans son souci de concision pour traiter simultanément mirage et fibre optique.
À mon avis, pas de problème pour la fibre optique à condition de choisir le signe de k qui va bien et de considérer que le plan (Oxy) de la figure est un plan diamétral de la fibre.
Concernant le phénomène de mirage, l'énoncé conduit à une équation du rayon lumineux faisant intervenir un sinus hyperbolique alors que l'expérience conduit en général à modéliser le rayon au voisinage du sol par une branche de parabole dont la concavité est orienté vers le haut ou vers le bas : vers le haut si le sol est plus chaud que l'air, vers le bas si le sol est plus froid que l'air. Selon moi, la théorie et l'expérience sont cohérentes à condition de poser :
\boxed{n^2(y)=n_0^2+k\cdot y} et non : n^2(y)=n_0^2+k\cdot y^2  
Alors le signe de k dépend de la situation : sol plus chaud que l'air ou sol plus froid que l'air.
Si cela peut éviter à nxk-YANG de perdre trop de temps...

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 15:12

D'ailleurs vanoise, étant donné qu'on a deux dérivées, par rapport à des paramètres différents, qui sont égales, ne devrait-on pas plutôt avoir :

\dfrac{d}{dy}(\dfrac{n^2}{\beta^2}) = A

Et donc :

\dfrac{n^2}{\beta^2} = Ay + B avec A et B deux constantes. Et étant donné qu'en y = 0 on a n(y) = n(y = 0) = n_0 on retombe bien sur l'expression que tu annonces :

\boxed{\dfrac{n^2}{\beta^2} = ky + n_0^2}

C'est juste un détail, mais ta remarque m'a fait pensé à une question que je m'étais posée lorsque j'avais d'abord lu l'énoncé.

Florian

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 15:14

Pardon, je voulais écrire :

\boxed{{n^2} = ky + n_0^2}

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 15:29

Bonjour Florian,
\boxed{\dfrac{n^2(y)}{\beta^2} = ky + n_0^2} ou : \boxed{n^2(y)=n_0^2+k\cdot y} ???

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 15:30

Parfait : nous sommes d'accord !

Posté par
Florianbre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 15:35

Oui, nous sommes d'accord. Mais toujours est-il, n'est-ce pas la méthode de résolution usuelle dans ce cas de figure (dire que la dérivée est égale à une constante puis intégrer) ? Ou bien peut-on tout de même supposer une forme de solution comme l'énoncé le suggère ?

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 19:55

Bien sûr, tu as raison. Idéalement, il faut partir de l'expérience : le rayon lumineux est assimilable à une branche de parabole, donc la dérivée seconde de y par rapport à x est une constante non nulle. Ensuite on intègre et on arrive à une loi exprimant les variations de n en fonction de y. On pourrait faire de même pour la fibre optique : partir du rayon assimilable à une sinusoïde et en déduire la loi donnant n en fonction de y.
Ici, il s'agit d'un problème théorique montrant les analogies entre la propagation de la lumière dans une fibre optique et le phénomène de mirage. Cependant le concepteur du problème est allé un peu trop loin à mon avis : la loi donnant les variations de n en fonction de y ne sont pas identiques dans les deux cas...

Posté par
nxk-YANGre : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 20:53

Bonjour,

J'avoue que j'ai fini par décrocher.
Je ne connais même pas les équations de propagations d'ondes dans un mirage ou une fibre optique.
Alors des formules de maths, ça ne m'avance pas beaucoup.

Si je comprend bien, c'est un exercice difficile.
Je n'arrive pas à jauger; j'ai toujours trouvé qu'il y avait un décalage entre mes cours et mes exercices. Il faut que je brasse large.

En tout cas, j'apprends beaucoup de chose ici.

Je vous remercie tous les deux vanoise et Florianb.

Posté par
vanoisere : Optique: rayon lumineux dans un milieu non homogène 07-08-15 à 23:17

Tu dois pouvoir y arriver en partant de l'équation différentielle proposée par l'énoncé : $\left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)=\frac{1}{\beta^{2}}\cdot\left(\frac{d(n^{2})}{dy}\right)$ avec {n^2(y)=n_0^2+k\cdot y^2}
Cherche la solution correspondant à une fibre optique sachant que dans une fibre, la lumière se propage le long d'une sinusoïde dont l'équation générale peut s'écrire :
y = A.cos(.x)+B.sin(.x) où A, B et sont trois constantes qui peuvent s'exprimer en fonction des données du problème.
L'échange entre Florianb et moi-même a porté sur une erreur d'énoncé : le cas du mirage correspond à n^2(y)=n_0^2+k\cdot y et la solution correspond à une branche de parabole d'équation : y = a.x2+b.x+c où a, b et c sont trois constantes à exprimer en fonction des données du problème.
Bon courage !


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