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optique ondulatoire ; les trous d'Young

Posté par
phy1mth 05-05-21 à 13:03

Bonjour.
on a un dispositif de trous d'Young
ou les deux sources  S1S2( deux fonts ) sont incline d'un angle alpha comme vous voir dans le dessin .
la question est de trouve la différence de marche sigma 1 ( &1 ) .
j'ai essaie de faire mais je sait pas comment démarre .
bonne je sait que
sigma 1 = ss2-ss1
merci éventuellement.

optique ondulatoire ; les trous d\'Young

Posté par
vanoisere : optique ondulatoire ; les trous d'Young 05-05-21 à 15:59

Bonjour
Poser le calcul rigoureux en utilisant les coordonnées cartésiennes puis faire un développement limité sachant que a<<d et a<<D.

Posté par
phy1mthre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 05-05-21 à 21:40

Y a t-il un autre method ?

Posté par
vanoisere : optique ondulatoire ; les trous d'Young 05-05-21 à 22:10

Aucune autre méthode rigoureuse en tout cas. Se méfier des approximations faites sur les angles comme cela se trouve dans certains vieux livres et dans certains cours sur le net. On peut de cette façon démontrer tout et son contraire !

En prenant un repère (Oxy) d'axe Ox horizontal, l'origine O étant au centre de S1S2 : Les coordonnées des points utiles sont :

S\left(\begin{array}{c} \\ -d\\ \\ 0 \\ \end{array}\right)\quad;\quad S_{1}\left(\begin{array}{c} \\ -\frac{a}{2}\sin\left(\alpha\right)\\ \\ \frac{a}{2}\cos\left(\alpha\right) \\ \end{array}\right)\quad;\quad S_{2}\left(\begin{array}{c} \\ \frac{a}{2}\sin\left(\alpha\right)\\ \\ -\frac{a}{2}\cos\left(\alpha\right) \\ \end{array}\right)\quad;\quad M\left(\begin{array}{c} \\ D\\ \\ y \\ \end{array}\right) \\ \\ d_{1}=\Vert\overrightarrow{SS_{1}}\Vert+\Vert\overrightarrow{S_{1}M}\Vert=\sqrt{\left(d-\frac{a}{2}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}\cos^{2}\left(\alpha\right)}+\sqrt{\left(D-\frac{a}{2}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\left(y+\frac{a}{2}\cos\left(\alpha\right)\right)^{2}}

Pour d2 : il suffit de remplacer (a) par (-a) dans l'expression de d1. Ensuite mettre soit d, soit D en facteur :

d_{1}=d.\sqrt{\left(1-\frac{a}{2d}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4d^{2}}\cos^{2}\left(\alpha\right)}+D.\sqrt{\left(1-\frac{a}{2D}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\left(\frac{y}{D}+\frac{a}{2D}\cos\left(\alpha\right)\right)^{2}}

Méthode analogue pour d2 puis développement limité sachant que :

\sqrt{1+\varepsilon}\approx1+\frac{\varepsilon}{2}\quad si\quad|\varepsilon|\ll1

Posté par
phy1mthre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 08-05-21 à 14:12

bonjour,
voici  ma solution . y a t-il un erreur ou bien un remarque que vous pouvait me donne .
merci éventuellement.

** image supprimée **

** image supprimée **

Posté par
vanoisere : optique ondulatoire ; les trous d'Young 08-05-21 à 18:53

Il faut développer l'expression de d1 :

d_{1}=d.\sqrt{1-\frac{a}{d}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{4d^{2}}}+D.\sqrt{1-\frac{a}{D}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{4D^{2}}+\frac{y^{2}}{D^{2}}+\frac{a.y}{D^{2}}\cos\left(\alpha\right)}

Sous les racines carrées, tous les termes sauf ”1” sont très petits devant 1. On obtient une expression simplifiée :

d_{1}=d.\left(1-\frac{a}{2d}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{8d^{2}}\right)+D.\left(1-\frac{a}{2D}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{8D^{2}}+\frac{y^{2}}{2D^{2}}+\frac{a.y}{2D^{2}}\cos\left(\alpha\right)\right)

L'expression de d2 s'obtient très simplement sans refaire les calculs : il suffit de remplacer ”a” par ”-a”... Je te laisse continuer. De nombreuses simplifications apparaissent quand on calcule la différence de marche...

Posté par
vanoisere : optique ondulatoire ; les trous d'Young 08-05-21 à 21:38

Je viens de réaliser qu'une erreur de signe s'est glissée dans une formule. Je récapitule en corrigeant.

d_{1}=\Vert\overrightarrow{SS_{1}}\Vert+\Vert\overrightarrow{S_{1}M}\Vert=\sqrt{\left(d-\frac{a}{2}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4}\cos^{2}\left(\alpha\right)}+\sqrt{\left(D+\frac{a}{2}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\left(y+\frac{a}{2}\cos\left(\alpha\right)\right)^{2}} \\ \\ d_{1}=d.\sqrt{\left(1-\frac{a}{2d}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\frac{a^{2}}{4d^{2}}\cos^{2}\left(\alpha\right)}+D.\sqrt{\left(1+\frac{a}{2D}\sin\left(\alpha\right)\right)^{2}+\left(\frac{y}{D}+\frac{a}{2D}\cos\left(\alpha\right)\right)^{2}} \\ \\ d_{1}=d.\sqrt{1-\frac{a}{d}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{4d^{2}}}+D.\sqrt{1+\frac{a}{D}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{4D^{2}}+\frac{y^{2}}{D^{2}}+\frac{a.y}{D^{2}}\cos\left(\alpha\right)} \\ \\ d_{1}=d.\left(1-\frac{a}{2d}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{8d^{2}}\right)+D.\left(1+\frac{a}{2D}\sin\left(\alpha\right)+\frac{a^{2}}{8D^{2}}+\frac{y^{2}}{2D^{2}}+\frac{a.y}{2D^{2}}\cos\left(\alpha\right)\right)

Il y a encore plus de simplifications possibles !

Posté par
phy1mthre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 09-05-21 à 09:42

mais pour quoi vous calcule d1 . on a besoin de calcule ss2 - ss1 pas ss1+sm

Posté par
vanoisere : optique ondulatoire ; les trous d'Young 09-05-21 à 10:46

On a besoin de la différence de marche entre S et M par les deux chemins : celui passant par S1 et celui passant par S2 :
d1=SS1+S1M
d2=SS2+S2M
différence de marche :
=d2-d1

Posté par
phy1mthre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 09-05-21 à 11:54

mais on peut aussi faire la somme des deux différence de marche segma = segma1 + segma 2 .  

Posté par
phy1mthre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 09-05-21 à 12:02

et pour sin (alpha) on peut dire que alpha est très petit donc sin (alpha)= alpha . asque on peut dire la même chose pour cos(alpha) ?

Posté par
vanoisere : optique ondulatoire ; les trous d'Young 09-05-21 à 12:41

Citation :
mais on peut aussi faire la somme des deux différence de marche segma = segma1 + segma 2 .  

Pourquoi pas ? Cela ne change rien au calcul...
Citation :
et pour sin (alpha) on peut dire que alpha est très petit

Cela n'est pas précisé dans l'énoncé tel que tu l'as copié. J'ai donc mené le calcul avec le sinus et le cosinus. Si effectivement l'angle est très faible , tu peux, dans le résultat final poser :

\sin\left(\alpha\right)\approx\alpha\quad;\quad\cos\left(\alpha\right)\approx1-\frac{\alpha^{2}}{2}

les angles étant mesurés en radian.

Posté par
gbm Webmasterre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 09-05-21 à 22:21

Bonsoir à vous deux,

@phy1mth : en vertu de ceci, pas de proposition manuscrite :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?



La prochaine fois elle sera supprimée. Merci

Posté par
phy1mthre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 11-05-21 à 00:38

gbm @ 09-05-2021 à 22:21

Bonsoir à vous deux,

@phy1mth : en vertu de ceci, pas de proposition manuscrite :

[faq]image[/faq]

[faq]symboles[/faq]

La prochaine fois elle sera supprimée. Merci



Bonsoir .
Asque vous pouvez supprime les images qui je mis ?

Posté par
phy1mthre : optique ondulatoire ; les trous d'Young 11-05-21 à 00:40

@vanoise mercie pour votre aide


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