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Optique : Observation d’un doublet.

Posté par
pfff 05-01-22 à 21:53

Bonsoir j'aimerais un peu d'aide pour mon exercice. Merci

SUJET

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une source monochromatique λ0 (pulsation ω0) collimatée par la lentille L1 qui donne un faisceau parallèle. Ce faisceau, considéré comme étant une onde plane dont l'amplitude du champ électrique E_0.exp(iω_0t) est divisé en deux faisceaux identiques par une lame séparatrice d'épaisseur négligeable (appelé pellicule séparatrice).

Optique : Observation d’un doublet.

La première partie du faisceau réfléchie par un miroir fixe M1 et après une nouvelle traversée de la pellicule se dirige vers la lentille L2 et le détecteur.
La deuxième partie du faisceau est réfléchie par un miroir mobile M2 et après réflexion sur la pellicule vient interférer avec la première partie du faisceau. En x = 0, la différence de marche δ entre les deux faisceaux qui interfèrent est nulle.

1. Ecrire l'amplitude du champ électrique des deux faisceaux au niveau du détecteur.

2. Ecrire l'éclairement Ed vu par le détecteur en fonction du déplacement d du miroir mobile M2.

CE QUE J'AI FAIT

1- La lame séparatrice va séparer le faisceau lumineux incident en deux faisceaux d'éclairement moitié alors le champ est divisé en deux parties égales.
On a au niveau du detecteur :

S_1_d = (Eo/2)exp(iω0t)
S_2_d = (Eo/2)exp(iω0t)


2- S_d(M,t) = \frac{E_0}{2}exp(i\omega _0t)(1+exp(i\frac{2\pi \delta }{\lambda_0}))

Ed=SdSd^{*}

Ed = \frac{E_0²}{2}(1+ Cos(\frac{2\pi \delta }{\lambda_0}))


je ne sais pas comment déterminer la différence de marche et je ne suis pas sur de mes résultats

Posté par
vanoisere : Optique : Observation d’un doublet. 05-01-22 à 23:39

Bonsoir
L'éclairement est proportionnel au carré de l'amplitude ; pas égal au carré de l'amplitude (tu verras plus tard en électromagnétisme la valeur de la constante de proportionnalité). Appelle-la provisoirement k. En revanche, l'expression finale de l'éclairement est correcte.
A partir du contact optique z=0 (ou x=0 : il y a contradiction dans les notations entre le schéma et l'énoncé...) la différence de marche est nulle. Si tu déplaces le miroir M2 de la distance "d" vers la droite, tu augmentes de combien la marche de l'onde n° 2 sans modification de la marche de l'onde n° 1 ? Donc : = ???

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 00:07

je me suis trompé au niveau de la formule de l'eclairement ce n'est pas plutot multiplié par 1/2 ?

Citation :
A partir du contact optique z=0 (ou x=0 : il y a contradiction dans les notations entre le schéma et l'énoncé...) la différence de marche est nulle. Si tu déplaces le miroir M2 de la distance "d" vers la droite, tu augmentes de combien la marche de l'onde n° 2 sans modification de la marche de l'onde n° 1 ? Donc : = ???


oui je pense qu'il aurait du dire en z=0 mais le truc qui est bizarre normalement z=0 c'est au niveau de la séparatrice mais le z=0 se trouve encore devant

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 00:10

la marche de l'onde 2 augmente de d donc la différence de marche vaut d

Posté par
vanoisere : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 10:01

Il faut tenir compte de la marche de l'onde vers M2 puis de son retour après réflexion. On obtient donc :
= 2d.

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 10:08

Oui j'ai bien compris merci beaucoup

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 10:09

Mais je me demande plutôt si la formule de leclairement ce n'est pas plutôt

Ed= (1/2)SdSd*

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 10:10

Parce que l'eclairement c'est la valeur moyenne du carré de la vibration lumineuse

Posté par
vanoisere : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 11:05

C'est vrai qu'il peut y avoir des confusions entre le "E" du vecteur champ et le "E" de l'éclairement. Un éclairement correspond à une puissance moyenne reçue par unité de surface et se mesure en W/m2 alors qu'un vecteur champ électrique se mesure en V/m. Pas question donc d'écrire qu'un éclairement est égal au carré de l'amplitude du champ électrique résultant de la superposition des onde. Il y a seulement proportionnalité entre ces grandeurs.
Si tu utilise la lettre "s" pour la mesure algébrique du vecteur champ, cela donne :

\underline{s_{1}}=E_{o}.\exp\left(i\omega t\right)\quad;\quad\underline{s_{2}}=E_{o}.\exp\left(i\omega t-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)

\underline{s}=\underline{s_{1}}+\underline{s_{2}}=E_{o}.\exp\left(i\omega t\right).\left[1+\exp\left(-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]

L'éclairement est proportionnel au carré de l'amplitude du vecteur champ donc au produit du complexe associé par son conjugué :

\mathit{\mathscr{E_{d}}=k.\underline{s}.\underline{s}^{*}=k.E_{o}^{2}.\left[1+\exp\left(-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right].\left[1+\exp\left(i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]=2k.E_{o}^{2}.\left[1+\cos\left(\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]} \\
Si on note \mathscr{E_{max}} l'éclairement maximum, cela donne :

\mathscr{E_{d}}=\frac{\mathscr{E_{max}}}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]\quad avec\quad\mathscr{E_{max}}=\frac{k.E_{o}^{2}}{4}

Pour éviter les confusions, j'ai voulu utiliser  les lettres "rondes"  (police script) pour l'éclairement mais cela n'est pas acceptée par le serveur tex du forum. J'espère que cela va être clair pour toi malgré tout.

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 13:21

Mais pour s1 et s2 ce n'est pas Eo/2 ?

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 14:06

Et puis aussi le Emax ce n'est pas plutot 4kEo² ?

Posté par
vanoisere : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 14:26

Désolé je n'ai pas lu l'énoncé de façon suffisamment attentive. J'ai noté Eo l'amplitude de chacune des deux onde qui interfèrent alors que Eo est l'amplitude de l'onde incidente émise par S. En plus, comme tu viens de le remarquer, le "4" de la dernière formule est mal placé. Je reprends à zéro...
Prenons l'onde incidente d'amplitude Eo. La séparatrice produit deux ondes d'amplitude Eo/2. Cependant, après réflexion sur M1 ou M2, la séparatrice intervient à nouveau pour transmettre vers le détecteur une onde d'amplitude encore divisée par 2. Dans les expressions de s1 et s2, il faut donc, par rapport à mon étude précédente, remplacer Eo par Eo/4.

\underline{s_{1}}=\frac{E_{o}}{4}.\exp\left(i\omega t\right)\quad;\quad\underline{s_{2}}=\frac{E_{o}}{4}.\exp\left(i\omega t-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right) \\ \\ \underline{s}=\underline{s_{1}}+\underline{s_{2}}=\frac{E_{o}}{4}.\exp\left(i\omega t\right).\left[1+\exp\left(-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]

L'éclairement est proportionnel au carré de l'amplitude du vecteur champ donc au produit du complexe associé par son conjugué :

\mathit{\mathscr{E_{d}}=k.\underline{s}.\underline{s}^{*}=k.\frac{E_{o}^{2}}{16}.\left[1+\exp\left(-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right].\left[1+\exp\left(i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]=k.\frac{E_{o}^{2}}{8}.\left[1+\cos\left(\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]}

Si on note \mathscr{E_{max}} l'éclairement maximum, cela donne :

\mathscr{E_{d}}=\frac{\mathscr{E_{max}}}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]\quad avec\quad\mathscr{E_{max}}=\frac{k.E_{o}^{2}}{4}

Posté par
vanoisere : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 15:05

J'ai fini par trouver comment utiliser la police "script" pour bien faire la différence entre le E désignant et vecteur champ et le \usepackage{mathrsfs} \mathit{\mathscr{E}}  désignant un éclairement.

\underline{s_{1}}=\frac{E_{o}}{4}.\exp\left(i\omega t\right)\quad;\quad\underline{s_{2}}=\frac{E_{o}}{4}.\exp\left(i\omega t-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)

\underline{s}=\underline{s_{1}}+\underline{s_{2}}=\frac{E_{o}}{4}.\exp\left(i\omega t\right).\left[1+\exp\left(-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]

L'éclairement est proportionnel au carré de l'amplitude du vecteur champ donc au produit du complexe associé par son conjugué :
\usepackage{mathrsfs} \\ \mathit{\mathscr{E}_{d}=k.\underline{s}.\underline{s}^{*}=k.\frac{E_{o}^{2}}{16}.\left[1+\exp\left(-i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right].\left[1+\exp\left(i\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]=k.\frac{E_{o}^{2}}{8}.\left[1+\cos\left(\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]}

Si on note \usepackage{mathrsfs}\mathscr{E}_{max} l'éclairement maximum, cela donne :

\usepackage{mathrsfs}\mathscr{E}_{d}=\frac{\mathscr{E}_{max}}{2}\left[1+\cos\left(\frac{2\pi.\delta}{\lambda}\right)\right]\quad avec\quad\mathscr{E}_{max}=\frac{k.E_{o}^{2}}{4}

Posté par
pfffre : Optique : Observation d’un doublet. 06-01-22 à 21:19

Merci beaucoup j'ai bien compris


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