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Optique géométrique

Posté par
Orsolya 14-12-06 à 21:31

Bonsoir,

J'éprouve quelques difficultés sur la fin de cet exercice. Merci de bien vouloir m'accorder un peu de votre temps

Enoncé:

Un philatéliste observe un timbre situé à une distance D = 25 cm de son oeil. Pour distinguer les détails, il place une loupe, assimilée à une lentille mince convergente de distance focale f', à une distance d du timbre.
1) Pour quelles valeurs de d l'image est-elle non renversée ?
2) En se limitant à ces valeurs, déterminer, en fonction de d, la distance D' entre son oeil et l'image du timbre; le grandissement g et le grossissement G.

Mes résultats:
1)
\gamma=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}>0 et d=\overline{AO}

\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'} \\ \frac{\overline{OA}}{\overline{OA'}}-\frac{\overline{OA}}{\overline{OA}}=\frac{\overline{OA}}{f'} \\ \frac{\overline{OA}}{\overline{OA'}}=\frac{\overline{OA'}}{f'}=1>0 \\ \frac{\overline{OA}}{f'}>-1 \\ \overline{OA}>-f' \\ -d>-f' \\ d<f'

Donc pour que l'image ne soit pas renversée, il faut que la distance entre le timbre et la loupe soit inférieure à la distance focale f'.

2)
Là, ça se gâte. J'ai fait un schéma pour mieux visualiser, mais je n'arrive pas aller plus loin que :

D'=D+\overline{AA'} \\ D'=D+\overline{A'O}-d \\ D'=D-\overline{OA'}-d

Et là je bloque
Quelque soit votre aide, merci d'avance.

Optique géométrique

Posté par
Coll Moderateurre : Optique géométrique 15-12-06 à 09:23

Bonjour,

Je reprends ta démonstration (car je ne suis pas sûr de tes écritures) :

3$\frac{1}{\bar{OA'}}\;-\;\frac{1}{\bar{OA}}\;=\;\frac{1}{\bar{OF'}}

en multipliant par 2$ \bar{OA}

3$\frac{\bar{OA}}{\bar{OA'}}\;-\;\frac{\bar{OA}}{\bar{OA}}\;=\;\frac{\bar{OA}}{\bar{OF'}}

3$\frac{\bar{OA}}{\bar{OF'}}\,+\,1\,>\,0

2$\bar{OA}\,>\,-\,\bar{OF'}

2$\bar{AO}\,<\,\bar{OF'}

Oui, pour la deuxième question "ça se gâte".

Il n'y a aucune raison de conserver D = 0,25 m comme distance entre l'œil et l'objet pour la deuxième question. Ce n'est pas ainsi que l'on utilise au mieux une loupe.

Le premier paramètre pour cette question sera d : distance entre l'objet et le centre optique de la loupe. De cette valeur il est facile de déduire la distance entre l'image et le centre optique. La position de l'œil qui rend les calculs les plus faciles est d'être aussi au centre optique de la loupe. Ceci est pratiquement presque possible : œil placé tout contre la loupe.
La distance D' ne doit pas être inférieure (pour un œil "normal") à 0,25 m, distance minimale permettant la vision distincte. Mais le bon usage d'une loupe consiste à placer l'image à l'infini (toujours pour un œil "normal") car c'est ainsi que l'œil se fatigue le moins puisqu'il n'a pas à accommoder.
Je suis étonné de la question sur le grandissement. L'image étant virtuelle on ne définit pas de grandissement. Seul est défini le grossissement, rapport des diamètres apparents de l'objet vu à l'œil nu (et à la distance minimale de vision distincte, c'est-à-dire conventionnellement à une distance de 0,25 m) et vu à travers la loupe (il est facile de calculer ce second diamètre apparent si l'objet est au foyer objet, l'image à l'infini).

Si l'image n'est pas à l'infini ou l'œil pas au centre optique, les calculs deviennent nettement plus laborieux. Mais c'est peut-être ce qui t'est demandé.

Posté par
Orsolyare : Optique géométrique 15-12-06 à 14:08

Bonjour Coll

Merci de t'être penché sur mon problème.
En effet pour la première question, j'ai eu un souci de Latex, ma troisième ligne était

\frac{\overline{OA}}{\overline{OA'}}=\frac{\overline{OA}}{f'}-1

or \frac{\overline{OA}}{f'}-1>0 d'où ...

Quant à la deuxième question, si je comprends bien je ne dois plus tenir compte de D, mais est-il vraiment réaliste de choisir le centre optique de la loupe "pour l'oeil" ?

Admettons ce fait, on aurait :

D' = d + \overline{AA'}

C'est bien cela ? Mais pour la suite des calculs

Posté par
Coll Moderateurre : Optique géométrique 15-12-06 à 14:32

Il y a une autre position de l'œil qui conduit à des calculs faciles : c'est le foyer image

Les calculs se font avec la relation de conjugaison

Le grossissement G
3$ \alpha = \frac{\bar{AB}}{d_m}

en notant le diamètre apparent de l'objet à l'œil nu quand il est vu à la distance d_m la distance minimale de vision distincte (0,25 m correspond à ce qui est adopté pour calculer le grossissement "commercial")

Si l'image est à l'infini et quelle que soit alors la position de l'œil,
ou si l'œil est au foyer image et quelle que soit alors la position de l'objet,
l'image A'B' est vue sous le diamètre apparent '

3$ \alpha' = \frac{\bar{AB}}{f'}

3$ G\,=\,\frac{\alpha'}{\alpha}\,=\,\frac{d_m}{f'}

Il n'y a d'intérêt à utiliser une loupe que si f' est plus petit que la distance minimale de vision distincte.

Posté par
Orsolyare : Optique géométrique 15-12-06 à 17:33

J'ai croisé mon prof qui m'a dit que l'on devait conserver D pour la suite de l'exercice car c'est justement dans cette configuration que l'on s'est placé pour la question n°1 et que nous devons nous servir du résultat obtenu pour traîter la suite de l'exercice.

J'ai tenté un petit calcul mais qui m'a l'air assez tordu... pour calculer la distance D':

D'=D+\overline{AA'} \\ \\ D'=D+\overline{A'O}-d \\ \\ D'=D-\overline{OA'}-d

Arrivée ici, je cherche à déterminer \overline{OA'} en fonction de d et de f à l'aide de la relation de conjugaison :

\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f} \\ \\ \frac{1}{\overline{OA'}}=\frac{1}{f}+\frac{1}{\overline{OA}} \\ \\ \overline{OA'}=\frac{f'\times\overline{OA}}{f'+\overline{OA}} \\ \\ \overline{OA'}=\frac{f'\times(-d)}{f'-d}

Je reprends le calcul de départ et j'y introduit ma nouvelle expression de \overline{OA'}:

D'=D-d-\frac{f'\times(-d)}{f'-d} \\ \\ D'=D-\frac{d(f'-d)+df'}{f'-d}

\red \fbox{D'=D+\frac{d^2}{f'-d}}

Qu'en penses-tu ?

Posté par
Coll Moderateurre : Optique géométrique 16-12-06 à 08:14

Bonjour,

Je pense, mais c'est peu important, que l'énoncé aurait pu être plus clair. Je pense surtout que ton résultat est correct. Je te propose une écriture légèrement différente du début :
D'\,=\,D\,+\,\bar{A'A}

D'\,=\,D\,+\,\bar{OA}\,-\,\bar{OA'}

D'\,=\,D\,-\,d\,-\,\bar{OA'}

Il manque également un signe moins à l'avant-dernière ligne

3$ D'\,=\,D\,-\,\frac{d(f'-d)+f'\times(-d)}{f'-d}

Le résultat final est cependant (étonnamment) juste. D'autres erreurs se sont "compensées"

Posté par
Orsolyare : Optique géométrique 16-12-06 à 13:34

Bonjour Coll,

En effet, petit problème de signe. C'est réglé, merci.
Je vais voir ce que je peux faire pour la suite de l'exo, je posterai ce que je trouve (si je trouve!) afin d'avoir ton avis d'expert

Bon week-end

Posté par
Orsolyare : Optique géométrique 17-12-06 à 00:37

Donc nous connaissons désormais :

\fbox{D'=D+\frac{d^2}{f'-d}}

Pour le grandissement g :

g=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}=\frac{\frac{-df'}{f'-d}}{-d}=\frac{-df'}{(f'-d)(-d)}=\frac{f'}{f'-d}

Donc \fbox{g=\frac{f'}{f'-d}}

Pour le grossissement G :

G=\frac{\alpha'}{\alpha}

Si j'utilise l'approximation de Gauss, je dis que tan \alpha = \alpha, idem pour \alpha'.
Donc d'après le schéma, j'en déduis que :

\alpha'=\frac{\overline{A'B'}}{D'}  et  \alpha=\frac{\overline{AB}}{D}

J'obtiens donc d'après la formule du grossissement :

G=\frac{\overline{A'B'}}{D'}\times\frac{D}{\overline{AB}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}\times\frac{D}{D'}

Je remarque qu'on peut réinsérer le grandissement calculé auparavant :

G=g\time\frac{D}{D'}

G=\frac{Df'}{D'(f'-d)}=\frac{Df'}{(D+\frac{d^2}{f'-d})(f'-d)}


Et là, si je veux développer le tout, j'arrive à un calcul trop farfelu pour que ça puisse être ça
Suis-je sur la bonne piste ou complètement à côté de la plaque ?
Le problème c'est que, sans donnée concrète, j'ai du mal à me représenter le problème.

Posté par
mikayaoure : Optique géométrique 17-12-06 à 00:41

bonsoir Orsolya

le dénominateur se simplifie en d²-Dd+f'D = (d-D/2)²+f'D-D²/4 = (d-D/2)²+D(f'-D/4)

est-ce que ça t'intéresse, sous ces formes ?
.

Posté par
Orsolyare : Optique géométrique 17-12-06 à 00:52

Merci Mikayaou
A vrai dire, je ne sais pas si ça m'aide. Disons que ça allège l'écriture de mon expression.
Par contre, j'ai du mal à le simplifier moi... je ne tombe pas du tout sur d²-Dd+f'D, mais sur un calcul très très... long et faux. Il se fait tard mais je vais essayer de le refaire une dernière fois. Merci en tout cas

Posté par
Orsolyare : Optique géométrique 17-12-06 à 00:55

Roh mais quelle cruche ! C'est bon, j'ai saisi la facto. Fiou, dur dur des fois


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