Il faudrait peut-être un schéma et des indications sur :
* La forme du dioptre (plan ?)
* La distance    de A au dioptre
* La distance    de B au dioptre
* La distance    entre A et B projetée sur le dioptre
* le rapport  

Ensuite, je n'en suis pas certain, n'ayant pas fait le calcul, mais il me semble que le problème conduit à une équation du quatrième degré.
Donc difficile de la résoudre sauf si les paramètres    ont une bonne tête qui permet de trouver des racines évidentes et donc de factoriser...

Sauf erreur...


PS: ce problème est similaire à celui du maître nageur qui veut sauver un baigneur en train de se noyer : il doit calculer à quel point il doit se rendre en courant pour minimiser son temps de sauvetage, connaissant son rapport de vitesse entre la course et la nage...

Si le problème correspond bien à ce que j'ai décrit (dioptre plan), je confirme qu'il se résout par une équation du quatrième degré.
Il faudrait donc l'énoncé complet et précis pour répondre de manière appropriée.

En fait le rayon par du point A₁(0,0,z₁), franchit un point M(x,0,0) (sur la surface du dioptre), et atteint le point A₂(x₂,0,z₂). La vitesse de propagation dans le milieu 1 est v₁ et v₂ dans le milieu 2. Le but de la question est de déterminer le point M (c'est-à-dire x). Mais je pense que la question était mal posé, c'est peut-être pour cela que le professeur n'a pas répondu "vraiment" à la question, et il s'est contenté du rapport sin(i₁)/ V₁ = sin(i₂)/V2...Parce qu'une deuxième question porte sur le fameux maître nageur (à quel parcours doit-il prendre en sachant que qu'il cours trois fois plus vite qu'il ne nage, et qu'il se trouve à la limite entre la plage et la mer) : dans ce problème, on connait i₁, (pi/2) et le rapport des vitesses...Par conséquent on peut déterminer x ( = x₂ - z₂tan(i₂), avec i₂ = arcsin(1/3) si mes souvenirs sont bons...)

Donc ça confirme exactement tout ce que je t'ai dit.

La première partie sert à redémontrer la formule de Descartes : le rapport des sinus est égal au rapport des vitesses et donc au rapport des indices.
Appliquer cette loi au cas général conduit à une équation du quatrième degré, qui ne peut pas être résolue littéralement dans le cas général (car la méthode de résolution est complexe et demande des pages de calcul...).

Le résultat essentiel de cette première partie, c'est donc juste d'établir la loi de la réfraction avec les sinus, ou son équivalent exprimé sous la forme d'une équation du 4ème degré en x, en faisant intervenir les paramètres a (distance de A au dioptre), b (distance de B au dioptre), d (distance de A à B projetée sur le dioptre) et c (rapport des vitesses).

NB, Dans ta formulation :  

Juste pour "information", l'équation du quatrième degré en x ressemble à ceci :



Cette équation est bien plus complexe que la loi des sinus...
... donc son intérêt est limité.
Mais savoir que le problème conduit à une telle équation (même en partant de la loi des sinus), aide à comprendre pourquoi on ne peut pas écrire la solution dans le cas général.

La deuxième partie correspond à un cas simple, pour lequel  a=0  et  c=3.
Il peut se résoudre soit à l'aide de l'équation en x, soit en passant par la loi des sinus comme tu l'as fait.

Par la loi des sinus :  





Par l'équation en x, après simplification on trouve :  




Donc c'est OK pour toi ou tu as d'autres questions ?

Voilà qui explique tout... J'étais toujours déranger de ne pas trouver une valeur de x dans le cas général, mais maintenant je comprend pourquoi je n'y arrivais pas. Merci beaucoup à toi LeDino. Notamment pour les explications avancées, c'était intéressant!

Je réalise que mon \tg a été croqué par LATEX qui préfère \tan pour la fonction tangente...
Donc je rectifie la formule et synthétise les résultats :

Bonjour ,

Voici la solution par radicaux à votre question , ci joint deux liens donnant la démonstration complète .





Si cela peut vous être utile .... Amicalement votre ...

***Edit gbm : raccourcis url ajoutés, merci de faire de même la prochaine fois (bouton en forme de flèche juste en-dessous du cadre où tu écris)***