Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Optique

Posté par
Yayakari
16-09-20 à 20:17

Bonjour j ai un controle samedi sur l optique géométrique et je n arrive pas resoudre cet exercice pourriez vous m aider
Énoncé
La célérité du son dans l'eau augmente à la fois avec la température et avec la pression de l'eau. Dans les océans, sous les latitudes tempérées ou équatoriales, les eaux sont chaudes en surface et la célérité du son diminue d'abord avec la profondeur z car l'effet du gradient de température l'emporte alors sur l'influence du gradient de pression. En dessous d'une profondeur z1 (voisine de 1300 m près de l'équateur), la température de l'eau ne diminue plus beaucoup. Par contre, la pression continue d'augmenter proportionnellement à la profondeur ; ainsi la célérité du son augmente avec z.
En première approximation, la célérité C d'une onde sonore se propageant dans l'océan varie avec la profondeur z suivant la loi : C = C0+ a (z − z0)2 , a étant une constante positive.
Plaçons une source sonore S immergée à la profondeur z0 émettant un faisceau sonore parallèle schématisé par le trajet SM (voir figure 2), incliné de l'angle α0 par rapport au plan horizontal. Envisageons de découper le milieu de propagation en une succession de tranches horizontales, chacune d'épaisseur infiniment petite dz.
Compte-tenu de la symétrie du milieu, le trajet du faisceau sonore demeure dans le plan vertical (xOz) ; il passe par le point M(z) où la célérité vaut C sous l'inclinaison α, puis par M'(z + dz) où la célérité vaut C + dC, sous l'inclinaison α + dα. On admettra que les ondes acoustiques suivent les mêmes lois que les ondes électromagnétiques dans le domaine du visible (optique géométrique).

1-Ecrire la loi de Snell Descartes pour la réfraction en utilisant la célérité C de l'onde acoustique (à la place de l'indice n
2-Dans le cas d'une succession de dioptres plans séparant des milieux de vitesses de propagation différente
(figure 2), montrer que la quantité (cos α)/C(z)demeure invariante le long du trajet du faisceau sonore.
3-Exprimer la pente (dz / dx) du faisceau en M puis la quantité (dz / dx)2en fonction de l'angle α. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la trajectoire z = z(x) de l'onde acoustique
Merci d avance

Optique

Posté par
vanoise
re : Optique 16-09-20 à 20:23

Bonsoir
Que proposes-tu comme solution ? Explique ce que tu as fait et ce qui te bloque. Plus facile de t'aider ensuite.
PS : l'étude est analogue à celle des mirages sur lesquelles l'aide sur le net est abondante.

Posté par
Yayakari
re : Optique 16-09-20 à 21:43

J ai trouvé pour la une
  1/C * sin = 1/C+dC * sin(+d)
Pour apres je ne sais pas quoi faire j ai eu l idee de faire une tangente car si je me rappelle bien il y a un rapport avec les tangente mais je ne sais plus

Posté par
vanoise
re : Optique 16-09-20 à 23:14

Attention au piège classique : la loi de Descartes fait intervenir les angles entre la normale et le rayon. On raisonne ici sur les complémentaires de ces angles...

Posté par
Yayakari
re : Optique 16-09-20 à 23:16

Donc à la place des alpha je mets /2 -
???

Posté par
vanoise
re : Optique 17-09-20 à 09:25

Oui éventuellement ou mieux : passer au cosinus...
Remarque  ; bien lire toutes les questions posées avant de commencer à rédiger.  Il est fréquent que la suite de l'énoncé fournisse des indications sur les premières questions.  La suite fait intervenir un cosinus...

Posté par
Yayakari
re : Optique 17-09-20 à 13:12

Ah oui d accord merci bcp

Posté par
Yayakari
re : Optique 17-09-20 à 13:13

Et pour la question 3 je ne sais pas par quoi commencer ...

Posté par
vanoise
re : Optique 17-09-20 à 17:12

Tu dois avoir vue en math la notion de coefficient directeur de la tangente à une courbe :

\frac{dz}{dx}=\tan\left(\alpha\right)\quad;\quad\left(\frac{dz}{dx}\right)^{2}=\frac{1-\cos^{2}\left(\alpha\right)}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}=\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}-1

Je te laisse continuer...

Posté par
Yayakari
re : Optique 17-09-20 à 18:29

Ah oui j ai compris

Posté par
Yayakari
re : Optique 17-09-20 à 18:32

J ai aussi une question qui suit celle là et j ai pas compris comment faire

L'angle α est faible et la valeur de C0 est beaucoup plus grande que celle de l'expression a (z − z0 )2 . En
introduisant la variable Z = z − z0 , montrer que l'équation différentielle précédente peut s'écrire sous la forme :
   (dz/dx)2 + K1 Z2=K2

Identifier les constantes K1 et K2.
Je n y arrive vraiment pas

Posté par
vanoise
re : Optique 17-09-20 à 20:13

Il faut utiliser les résultats acquis aux questions précédentes et faire une approximation compte tenu des ordres de grandeurs :

\frac{C(z)}{\cos\left(\alpha\right)}=\frac{Co}{\cos\left(\alpha_{o}\right)}

\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}=\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\frac{C_{o}^{2}}{C_{o}^{2}}\cdot\left[1+\frac{a}{C_{o}}\left(z-z_{o}\right)^{2}\right]^{-2}=\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\left[1-\frac{2a}{C_{o}}\left(z-z_{o}\right)^{2}\right]

J'utilise l'approximation classique correspondant au développement limité au premier ordre :

si |x|<<1 : \left(1+x\right)^{-2}\approx1-2x

Posté par
Yayakari
re : Optique 17-09-20 à 20:32

Comment vous trouvez ça
Moi pour la qustion d avant j ai trouvé tan2a = [1/((Cz/C0)*cos2a0)]-1

Posté par
vanoise
re : Optique 17-09-20 à 21:38

As-tu pris en compte mon message de 17h12 ?

Posté par
Yayakari
re : Optique 17-09-20 à 21:38

Oui

Posté par
vanoise
re : Optique 17-09-20 à 23:16

Apparemment, les indices que je t'ai fournis à 17h12 ne sont pas suffisants. Je reprends le message avec quelques aides complémentaires.

Je reprends le résultats de la question 2 en considérant que la constante évoquée correspond au cas particulier du point S :

\frac{C(z)}{\cos\left(\alpha\right)}=\frac{Co}{\cos\left(\alpha_{o}\right)}\quad soit\quad\frac{1}{\cos\left(\alpha\right)}=\frac{1}{\cos\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\frac{C_{o}}{C(z)}=\frac{1}{\cos\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\frac{C_{o}}{C_{o}+a.\left(z-z_{o}\right)^{2}}

C'est là qu'intervient la seule astuce du calcul : de façon à faire apparaître une expression de la forme (1+x) avec |x|<<1 afin de pouvoir ultérieurement utiliser un développement limité, je multiplie dans l'expression précédente "a" par 1=Co/Co ; cela ne modifie évidemment pas l'expression :

\frac{1}{\cos\left(\alpha\right)}=\frac{1}{\cos\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\frac{C_{o}}{C_{o}+\frac{C_{o}}{C_{o}}a.\left(z-z_{o}\right)^{2}}=\frac{1}{\cos\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\frac{1}{1+\frac{a}{C_{o}}\cdot\left(z-z_{o}\right)^{2}}

Dans l'expression de \left(\frac{dz}{dx}\right)^{2} intervient \frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha\right)} :

\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}=\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\left[1+\frac{a}{C_{o}}\left(z-z_{o}\right)^{2}\right]^{-2}

Je simplifie en utilisant le développement limité à l'ordre 1 sachant que : \frac{a}{C_{o}}\cdot\left(z-z_{o}\right)^{2}\ll1

\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha\right)}=\frac{1}{\cos^{2}\left(\alpha_{o}\right)}\cdot\left[1-\frac{2a}{C_{o}}\left(z-z_{o}\right)^{2}\right]

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2020

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !