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opérateurs et commutateurs

Posté par
LordOfLambs 31-10-18 à 15:42

Bonjour à tous,

On considère les états stationnaires $\left | n \right \rangle$ d'énergie $E_{n}$ . En calculant l'élément de matrice $\left \langle n \left | \left [ \hat{H} ,\hat{F} \right ] \right | n \right \rangle$ déduire que si $V(x)$ est un potentiel homogène de degré m $V(\lambda x) = \lambda ^{m} V(x)$ on a : $\left \langle n \left | \hat{T} \right | n \right \rangle = \frac{m}{2} \left \langle n \left | \hat{V} \right | n \right \rangle$ (théorème du Viriel) .
Rrappel : pour une fonction f homogène de degré m, on a $\vec{r}\, \vec{\nabla}f=mf$

$\hat{T} = \frac{\hat{p}_{x}^{2}}{2m}$ et $\hat{F} = \hat{x} \hat{p}_{x}$

ce formalisme est vraiment nouveau pour moi et je suis vraiment perdu..

Je vois bien que $\left \langle n \left | \left [ \hat{H} ,\hat{F} \right ] \right | n \right \rangle = \left \langle n \left | \hat{H} \hat{F} \right | n \right \rangle - \left \langle n \left | \hat{F} \hat{H} \right | n \right \rangle$ et que $\hat{H} \left | n \right \rangle = E_{n} \left | n \right \rangle$ mais je n'arrive pas à aller plus loin.

merci d'avance

Posté par re : opérateurs et commutateurs 31-10-18 à 17:22

Ai-je le droit d'écrire ça : ?

$\left \langle n \left | \left [ \hat{H} ,\hat{F}\right ] \right | n \right \rangle = \left \langle n \left | \hat{H} \hat{F} \right | n \right \rangle - \left \langle n \left | \hat{F} \hat{H} \right | n \right \rangle$

$= \left ( \left \langle n \left | \hat{F}^{\dagger } \hat{H} \right | n \right \rangle\right )^{*} - \left \langle n \left | \hat{F} \hat{H} \right | n \right \rangle = \left ( \left \langle n \left | \hat{F}^{\dagger } E_{n} \right | n \right \rangle\right )^{*} - \left \langle n \left | \hat{F} E_{n} \right | n \right \rangle$

$= E_{n} ^{*} \left \langle n \left | \hat{F} \right | n \right \rangle - E_{n} \left \langle n \left | \hat{F} \right | n \right \rangle = (E_{n} ^{*} - E_{n}) \left \langle n \left | \hat{F} \right | n \right \rangle$

Posté par re : opérateurs et commutateurs 31-10-18 à 17:36

Bonjour,

$\hat{H}$ est hermitien, on peut écrire : $\hat{H} |n \rangle = E |n\rangle$ et $\langle n | \hat{H} = E \langle n |$ .
Ainsi, $\langle n |\hat{H} \hat{F} | n \rangle - \langle n| \hat{F} \hat{H} | n \rangle = E \langle n | \hat{F} | n \rangle - E \langle n |\hat{F} | n \rangle = 0$

Posté par re : opérateurs et commutateurs 31-10-18 à 18:59

Bonsoir Kildeur ,

En fait c'est juste que $E^{*} = E$ car l'énergie est une grandeur réelle..

merci à toi !

Posté par re : opérateurs et commutateurs 01-11-18 à 13:34

Citation :
En fait c'est juste que E^{*} = E car l'énergie est une grandeur réelle..

Oui et pourquoi est ce une grandeur réelle ? Parce que l'hamiltonien est un opérateur hermitien.
Cela garanti que les valeurs propres (ici l'énergie) sont des nombres réels.

De rien

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