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Opérateurs d'inertie

Posté par
lidlkidjoe 25-03-20 à 17:37

Bonjour, je lance un peu une bouteille à la mer (enfin pas dans n'importe quelle mer).
J'ai beau m'appliquer, lire, relire, dès qu'on sort d'une tige(rigide, homogène), je fais n'importe quoi avec les opérateurs d'inertie.
dω prend une forme étrange dy dθ, dx dy, dm, je suis perdu.
Je ne comprends sûrement pas grand chose à ce que je fais niveau intégration non plus... (je garde en tête les rectangles, aire sous la courbe)
Si quelqu'un avait la patience de m'expliquer un peu comment tout cela fonctionne, je lui en serait infiniment reconnaissant.
Cdt.

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 17:45

Bonjour
Un moment d'inertie  s'écrit toujours sous la forme r2.dmoù r est la distance soit à l'axe, soit au point, soit au plan par rapport auquel on calcul se moment.
dm=.dV : masse élémentaire = masse volumique par volume élémentaire.
Toujours commencer par étudier les éléments de symétrie du solide : cela simplifie souvent les calculs.
Sinon : pose des questions précises sur ce que tu ne comprends pas avec éventuellement un exemple de chose que tu n'as pas comprise.

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 17:47

Désolé pour l'orthographe ; je suis souvent étourdi mais là : je me suis surpassé !

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 18:04

Voici ce que je réponds à un problème par exemple

Opérateurs d\'inertie

Opérateurs d\'inertie

Posté par
gbm Webmasterre : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 18:17

Bonsoir à vous deux,

@ lidlkidjoe : j'ai recadré ton scan de l'énoncé de l'exercice sur la figure => il faut recopier la partie texte

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 18:23

D'accord,  merci.
L'énoncé donné :
Donner l'opérateur d'inertie du cercle en A.  
Données :
C de masse M de rayon R

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 18:42

Première remarque : moments d'inertie et produits d'inertie sont homogènes au produit d'une masse par le carré d'une distance (unité kg.m2). Des résultats en M.R ou en 2R sont nécessairement faux.
Ensuite, tu n'as pas compris l'intérêt de raisonner sur les symétries du solide qui n'est pas un cercle mais plutôt un cerceau de rayon moyen R et de masse M. Tu n'as ici aucun calcul intégral à faire ; il suffit de réfléchir.
Soit le repère (Axyz) , (Ax) et (Ay) étant dans le plan du disque.
Puisque z=0 en tout point :

I_{Ax}=\int y^{2}.dm\quad;\quad I_{Ay}=\int x^{2}.dm\quad;\quad I_{Az}=\int\left(x^{2}+y^{2}\right).dm=\int R^{2}.dm=M.R^{2}

Or par raison de symétrie :

I_{Ax}=I_{Ay}

Compte tenu des relations de définition :

I_{Ax}+I_{Ay}=I_{Az}

Je te laisse terminer ; il n'y a aucun calcul intégral pour trouver ces moments d'inertie... Concernant les produits d'inertie : pense à réfléchir aux symétrie au lieu de t'embarquer dans des calculs d'intégrales...

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 18:55

Merci @vanoise,  je t'avoue avoir de réelles difficultés à définir d_omega, la tu me donne dm mais par exemple pour le tige on aurait dx si orientée selon x , c'est souvent dans ce choix que je rame , rho = m/v est bien resté dans ma tête mais comme tu le comprends,  je gère mal les paramètres... Je vais méditer ta réponse et tenter d'avancer , merci beaucoup en tout cas

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 19:06

Ici, tous les points du cerceau sont à la même distance R de l'axe Az. Le moment d'inertie par rapport à cet axe est donc, sans le moindre calcul, égal à M.R2 ! Relis si nécessaire mon message de 17h45 (la première phrase en particulier).

N'hésite pas à poser d'autres questions ou à poster d'autres exercices que tu as mal compris.

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 25-03-20 à 19:27

@vanoise,  merci,  je remets tout ça à plat demain et je reviens avec de bonnes nouvelles

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 15:27

Bonjour, vous allez trouver que j'insiste dans ma bêtise ... est ce que je paramètre mieux mon calcul comme ça ?
Merci d'avance.
Cdt.

Opérateurs d\'inertie

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 15:40

Oops, un $R^2  $ s'est envolé de ma feuille...

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 15:56

Tu n'as pas compris mon premier message sur l'homogénéité des résultats. Un moment d'inertie est le produit d'une masse par le carré d'une distance. Un résultat en M.R/2 est donc inacceptable.
Reprends mon calcul précédent :

I_{Az}=\int\left(x^{2}+y^{2}\right).dm=\int R^{2}.dm=R^{2}.\int dm=M.R^{2}

Lors de l'intégration, R2 est une constante vis à vis de la variable d'intégration : on peut donc sortir R2 de l'intégrale et la somme des "dm" est évidemment la masse totale.

Si tu veux passer par la masse linéique, pourquoi pas mais cela n'a aucun intérêt ici compte tenu du raisonnement précédent hyper simple. On définit alors la masse linéique comme le rapport masse sur périmètre du cerceau :

\lambda=\frac{M}{2\pi R}

I_{Az}=R^{2}.\int dm=R^{2}.\int_{0}^{2\pi}\lambda.R.d\theta=\lambda.R^{3}.\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.\lambda.R^{3}=M.R^{2}

Attention : désigne un angle mesuré à partir du centre A, rien à voir avec le ta première figure.

Compte tenu de mon message précédent :

I_{Ax}=I_{Ay}=\frac{1}{2}I_{Az}=\frac{1}{2}M.R^{2}

Pour les produit d'inertie : aucun calcul à faire : il suffit de raisonner sur les symétries.

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 16:06

@vanoise, j'ai bien compris ce que tu me dis, je ne confond pas le $ \theta $
je cherche juste avec les outils que le prof nous donne, à savoir la matrice d'inertie, à trouver comment je choisis les paramètres.
Alors comme $ R^2 $   est constant , on le sort , je suis d'accord et donc c'est le
$ d\theta $ qui vaut $ 2\pi R $ c'est bien ça ?
Car on intègre : $ \int _{-\pi/2}^{\pi/2} Rd\theta = R\int _{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta$  

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 16:08

oops $  \pi R  $

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 16:16

@Vanoise, connais tu Discord ( discussion en ligne) , je peux créer un serveur et nous pourrions discuter de vive voix , la suppression du serveur ainsi que ton refus à une invitation , que je ne t'enverrai pas, garantissent ton anonymat.
Si tu acceptais, je pense que ça simplifierait les choses , en tout cas pour moi.
Je peux t'envoyer un lien : discord et disponible sans installation au cas où.
Cdt.

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 17:49

Un petit élément de cerceau a pour longueur dl=R.d : cela résulte de la définition de l'angle exprimé en radian. La masse de cet élément est donc :
dm=.dl=R.d ; d'où la formule déjà écrite :

I_{Az}=R^{2}.\int dm=R^{2}.\int_{0}^{2\pi}\lambda.R.d\theta=\lambda.R^{3}.\int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.\lambda.R^{3}=m.R^{2}
Pour obtenir le cerceau en entier, il faut intégrer de 0 à 2 ou, si tu préfères, de - à (en radians).
Je reviens aux fondamentaux : le plus important sur le sujet a été écrit dans mon premier message :
"Un moment d'inertie  s'écrit toujours sous la forme r2.dm où r est la distance soit à l'axe, soit au point, soit au plan par rapport auquel on calcule ce moment."

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 19:46

Bon je vais essayer de changer de point de vue.
Si le moment d'inertie est toujours $ \int r^2 $ et que $ dm = \rho dV nous avons pour le cerceau dont $ dV  = 2\pi r$ car pas de volume et pas de surface, nous avons donc :

$ \int r^2 = \frac{m}{2\pi r}\int r^2 dV = \frac{m}{2\pi r} r^2\int dV  = \frac{m}{2 \pi r}r^2 2 \pi r = mr^2$

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 26-03-20 à 20:15

Attention : l'expression générale d'un moment d'inertie est toujours de la forme : \int r^{2}.dm ; écrire \int r^{2} n'as pas de sens. L'essentiel à comprendre : si toutes les masses élémentaires dm sont à la même distance R de l'axe par rapport auquel on calcule le moment d'inertie : r=constante=R dans le calcul intégral :

\int r^{2}.dm=\int R^{2}.dm=R^{2}.\int dm=M.R^{2}
S'il faut faire un calcul intégral, totalement inutile ici, il faut distinguer trois cas :
1° distribution linéique de masse : cerceau, tige : dm=.dl avec : masse linéique ;
2° distribution surfacique de masse : plaque, coque... : dm = .dS ou : masse surfacique
3° distribution volumique de masse : le cas le plus général : boule, cube... : dm=.dV avec : masse volumique.

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 27-03-20 à 07:59

Bonjour, merci vanoise pour ta grande patience , donc pour avoir besoin d'intégrer il faudrait par exemple que la figure soit un " treillis " de forme triangulaire

Opérateurs d\'inertie

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 27-03-20 à 11:03

A priori, il s'agit d'une distribution linéique de masse : la masse linéique est la même pour les trois tiges ?
Il faudrait dimensionner tout cela et se fixer des objectifs : matrice d'inertie à l'origine O du repère ?
Je te laisse préciser tout cela et faire une proposition de solution.

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 27-03-20 à 13:07

Voici quelques précisions et un essai, j'ai bien peur que ça pique encore les yeux...

Opérateurs d\'inertie

Opérateurs d\'inertie

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 27-03-20 à 16:08

Peut-être seulement une étourderie d'écriture. En supposant la masse linéique identique pour les trois tiges :

L_{3}=L\cdot\frac{\sqrt{5}}{2} et m_{3}=m\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}

Matrice d'inertie de T1 : tout est bon ; tu vois : tu progresses !

Matrice d'inertie de T2 : par un raisonnement analogue :

I_{Oy}=0\quad;\quad I_{Ox}=I_{Oz}=\frac{1}{3}m_{1}.L_{1}^{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{m}{2}\cdot\left(\frac{L}{2}\right)^{2}=\frac{1}{24}\cdot m.L^{2}

OK pour les produits d'inertie nuls.

Concernant T3 ; je crois que tu te compliques la vie. Je te fournis la méthode pour la moment d'inertie par rapport à (Ox) et te laisse ensuite terminer. On considère un tronçon élémentaire de tige de longueur dl, de masse .dl, situé à la distance l de l'extrémité A :

I_{Ox}=\intop_{0}^{L_{3}}y^{2}.dm=\intop_{0}^{L_{3}}l^{2}.\sin^{2}\left(\theta\right).\lambda.dl=\sin^{2}\left(\theta\right).\lambda.\intop_{0}^{L_{3}}l^{2}.dl=\frac{1}{3}\sin^{2}\left(\theta\right).\lambda.L_{3}^{3}

Des simplifications sont possibles :

\sin\left(\theta\right)=\frac{L}{2L_{3}}\quad;\quad\lambda.L=m

I_{Ox}=\frac{1}{3}\cdot\frac{L^{2}}{4L_{3}^{2}}\cdot\lambda\cdot L_{3}^{3}=\frac{1}{12}\cdot m.L.L_{3}=\frac{\sqrt{5}}{24}\cdot m.L^{2}

Posté par
lidlkidjoere : Opérateurs d'inertie 27-03-20 à 16:25

Un peu, un peu... , j'arrive pas à comprendre comment j'ai viré le facteur $ \frac {1}{2} $ dans la matrice $ T_2 $
Ça à l'air tellement évident pour toi.
Je rame, je rame, merci encore beaucoup.

Posté par
vanoisere : Opérateurs d'inertie 27-03-20 à 17:16

J'ai oublié de poster le schéma associé à mon message de 16h08...

Opérateurs d\'inertie


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