Bonjour j'ai quelque soucis concernant un exo :

Soit l'Espace E des états accessibles par une particule, engendré par la base orthonormée B_E{|1>,|2>,|3>}. Une grandeur physique A est représentée par un opérateur observable  et une seconde grandeur physique B par un opérateur observable ^B . Les matrices des différents opérateurs dans la base B_E :

[Â] = a 0 0                                    
.........0 c 0
.........0 0 a

[^B] = b 0  2ib
.......0  b   0
.....-2ib 0   b

Voila la question où je bloque :

A l'instant t=0, le système se trouve dans l'état |u>= (|1>+|3>)/(sqrt(2)).
On effectue une mesure de B. Préciser les résultats possibles de cette  les probabilités de chacune et l'état du système après. (système dans l'état |u'>)

Les questions ont été vérifiés par mon prof et sont justes. On fait une mesure de B sur |u'>. On décompose |u'> dans la base |u_-b> et |u_3b> (|u_-b;|u_3b>; |2> ket propres de  et ^B).

|u_-b> = (|1> + i |3>)/sqrt(2)
|u_3b> = (i |1> + |3>)/sqrt(2)

On a donc |1>= (|u_-b> - i |u_3b>)/sqrt(2)
|3>= (-i |u_-b> + |u_3b>)/ sqrt(2)

donc |u> = ((1-i) |u_-b> + (1-i) |u_3b>)/sqrt(2)

La proba de mesurer -b est |(1-i)/2)|²=1/2
la proba de mesurer 3b est également 1/2

On me demande Le système se trouvant toujours dans l'état |u'>, calculer la valeur moyenne <^B>, ainsi que l'écart quadratique moyen ΔB je ne vois pas comment faire pouvais vous m'aider



On me demande ensuite connaissant l'Hamiltonien ^H = Â.^B
On a |u(0)> = (|1>+|3>)/(sqrt(2)).
préciser |u(t)>
Je sais qu'il faut utiliser le postulat du formalisme général

i h d(|u>)/dt = ^H |u>

Je n'arrive pas à résoudre l'équation différentielle

AIDEZ MOI SVP MERCI!