Niveau maths sup

Opérateur différentielle

Posté par
wilfred1995 17-02-18 à 22:54

Bonsoir s'il vous plaît comment démontrer l'expression de la divergence en fonction des coordonnées cylindriques. Je n'arrive pas

Posté par re : Opérateur différentielle 18-02-18 à 08:35

Bonjour
C'est explique ici :

Posté par re : Opérateur différentielle 18-02-18 à 09:30

Hello
Pour compléter peut être la réponse de krinn (que je salue amicalement) (la question de wilfried étant un classique des TDs ou des colles):

1) pour le cas où l'opérateur nabla en coordonnées cylindrique serait une partie du souci

$d(\vec{OM}) = dr\vec{e}_r + rd\theta \vec{e}_{\theta} + dz\vec{e}_z$ . Ce qui te permet de (re)trouver l'expression de l'opérateur en coordonnées cylindriques:

$\vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial r}.\vec{e}_r + \frac{\partial}{r\partial \theta}.\vec{e}_{\theta} + \frac{\partial}{\partial z}.\vec{e}_z$

2) Et pour le cas où ce serait le "tenant compte de ce que $\vec{e}_r$ et $\vec{e}_{\theta}$ dépendent de $\theta$ " qui coince:

$\vec{e}_r(\theta + d\theta) = cos(d\theta).\vec{e}_r(\theta) + sin(d\theta).\vec{e}_{\theta}(\theta)$

Donc $\frac{\partial\vec{e}_r}{\partial\theta} = \vec{e}_{\theta}$

Posté par re : Opérateur différentielle 19-02-18 à 11:29

Bonjour à tous
Juste une méthode alternative concernant le point 2) soulevé par dirac : ma méthode est un peu moins directe mais peut-être mieux adaptée au niveau (bac+1). Il suffit d'exprimer les vecteurs mobiles dans la base fixe $\left(\overrightarrow{e_{x}},\overrightarrow{e_{y}},\overrightarrow{e_{z}}\right)$ et de dériver. Par définition de la base mobile :

$\overrightarrow{e_{r}}=\cos\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{x}}+\sin\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{y}}\quad;\quad\overrightarrow{e_{\theta}}=-\sin\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{x}}+\cos\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{y}}$

En dérivant par rapport à :

$\frac{\partial\overrightarrow{e_{r}}}{\partial\theta}=-\sin\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{x}}+\cos\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{y}}=\overrightarrow{e_{\theta}}$

$\frac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}=-\cos\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{x}}-\sin\left(\theta\right)\cdot\overrightarrow{e_{y}}=-\overrightarrow{e_{r}}$

Une remarque aussi sur les programmes : je suis étonné que wilfred1995 pose cette question alors qu'il poste au niveau Maths Sup. Seul le gradient est au programme de Sup (et encore pas dans toutes les filières). En Spé, les étudiants ont en général mieux à faire un jour de concours que ces calculs qui deviennent longs et fastidieux en coordonnées sphériques. Je n'ai jamais vu un problème de concours ( ENS Ulm et Polytechnique compris) qui ne fournisse un formulaire lorsque les opérateurs doivent être utilisés en coordonnées cylindriques ou sphériques.

Posté par re : Opérateur différentielle 22-02-18 à 18:43

Merci je me très bien en sorti

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