Niveau licence

ondes régime pseudo périodique

Posté par
alain83 04-09-09 à 15:41

Bonjour,

je commence à étudier mon cours et je suis déjà bloqué sur une démonstration.

On étudie un mouvement ou les frottements sont faibles et si on dérive par rapport au temps l'équation du mouvement, on obtient :

$\dot{ x} \ = \ Ae^{-\alpha t} [-\alpha \ cos (\omega \ t \ + \ \phi) \ - \ \omega sin (\omega \ t \ + \ \phi)]$

Et en élevant au carré :

$\dot{ x}^2 \ = \ A^2e^{-2 \alpha t} [\alpha^2 \ cos^2 (\omega \ t \ + \ \phi) \ + \ \omega^2 sin^2 (\omega \ t \ + \ \phi) \ + \ 2 \alpha \omega cos(\omega t \ + \ \phi) sin [\omega t \ + \ \phi)]$

Et de là, on déduit la moyenne sur une période :

$\bar{\dot{x}^2} \ = \ A^2e^{-2\alpha} [\frac{\alpha^2}{2} \ + \ \frac{\omega^2}{2}] \ \simeq \ A^2e^{-2\alpha t} \frac {\omega_0^2}{2}$

Et ça, je ne comprends pas.

Merci de votre aide.

Posté par re : ondes régime pseudo périodique 04-09-09 à 21:16

Ta dernière ligne n'est pas tout à fait cohérente (dépendance en $t$ qui apparaît brusquement) et la notation est ambiguë.

De plus on ne sait pas à quoi correspond $\omega_0$ .

Sinon, à première vue, il semblerait que l'on néglige la décroissance de l'exponentielle sur une période.

En écrivant:

$\sin^2\left(\omega t + \phi\right)=\frac 1 2 \left[1-\cos\left(2\left(\omega t + \phi\right)\right)\right] \\$

$\cos^2\left(\omega t + \phi\right)=\frac 1 2 \left[1+\cos\left(2\left(\omega t + \phi\right)\right)\right] \\$

On se retrouve à intégrer des termes constants (égaux à leur valeur moyenne) ou des termes sinusoïdaux (de moyenne nulle sur une période)...

Posté par ondes régime pseudo périodique 08-09-09 à 21:13

Merci,

Avec un peu de retard, mon micro a fait des siennes....

$\omega_0$ c'est la fréquence propre.

$e^{-\alpha t}$ ne varie pratiquement pas sur une période.

Mais je ne comprends pas pourquoi " $\ 2 \alpha \omega cos(\omega t \ + \ \phi) sin [\omega t \ + \ \phi)]$ " disparaît.

Je ne comprends pas non plus :

Citation :
On se retrouve à intégrer des termes constants (égaux à leur valeur moyenne)

Si quelqu'un a la patience de m'expliquer.

A bientôt.

Posté par re : ondes régime pseudo périodique 08-09-09 à 21:23

Le terme mentionné disparaît simplement parce que

$2\alpha\omega\cos(\omega t+\phi)\sin(\omega t +\phi)=\alpha \omega \sin \left(2 (\omega t+\phi)\right)$

Et, au même titre que les autres termes sinusoïdaux, sa valeur moyenne est nulle.

Ne restent donc que les termes constants issus de la linéarisation de $\cos^2$ et $\sin^2$ .

Il suffit d'écrire les choses...

Posté par ondes régime pseudo périodique 08-09-09 à 21:32

Merci beaucoup,

je réessaye avec tes explications.

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