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ondes et dispersion

Posté par
ferality
04-04-21 à 14:12

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de niveau L2 physique que je n'arrive pas à faire entièrement. Voici l'énoncé :

1. Soit une onde monochromatique qui s'écrit : A(\vec{r},t)=A_0e^{j(\vec{k}.\vec{r}\pm\omega t)}

avec \vec{k} le vecteur d'onde.

a) Rappeler la définition d'un front d'onde (ou une surface d'onde).
-- fait, une surface d'onde est une surface sur laquelle la fonction d'onde est uniforme, càd. a la même valeur partout sur la surface, à un instant "t" donné.

b) Montrer que les fronts d'onde sont des surfaces en tout point perpendiculaire à la direction de propagation \vec{k} de l'onde (vous pourrez considérer l'instant t = 0).
-- je ne suis pas certain de ce que j'ai fait ici, je prend t=0 donc A(\vec{r},t)=A_0e^{j(\vec{k}.\vec{r})}, et je dis "or A_0 est l'amplitude de l'onde à t=0, donc e^{j(\vec{k}.\vec{r})}=1 \iff \vec{k}\cdot\vec{r}=0 donc les vecteurs k et k sont perpendiculaires... mais je ne vois pas bien ce qu'est le vecteur \vec{r} finalement donc ça ne fait aucun sens physique pour moi, je ne comprend pas.

2. Lors de la propagation unidimensionnelle d'une onde acoustique dans un fluide (de l'eau par
exemple), la pression est décrite par une fonctionp(x,t) = p_0e^{j(\omega t - kx)}
et la relation de dispersion est : \omega^2 - c_a^2k^2(1 + j\omega \tau) = 0

Dans cette équation, c_a est la vitesse de l'onde sans atténuation, et \tau est un temps caractéristique qui dépend de la viscosité du liquide \eta et de la masse volumique \rho_0 :

\tau = \dfrac{\eta}{\rho_0 c_a^2}

a) Calculer l'ordre de grandeur de la quantité \omega\tau pour une onde ultrasonore de fréquence
1 MHz. On prendra c = 1500 m·s-1 et η = 10^{-3} Pa·s.
-- J'ai faut un binôme du second degré et j'ai une expression de \omega très lourde, avec \Delta = -c_a^4k^4\tau^2 + 4c_a^2k^2

b) Ecrire la relation de dispersion. En utilisant une approximation justifiée par la question a),
écrire cette relation sous la forme k = kr(ω) + j ki(ω).
-- la relation de dispersion est w=kc_a

c) En déduire que la pression peut s'écrire sous la forme : p(x,t) = p_0e^{-x/L}e^{j(\omega t - k_r x}

où L est une distance caractéristique d'atténuation. Calculer cette longueur d'atténuation L pour
des fréquences de 1 MHz, 10 MHz et 100 MHz.

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
vanoise
re : ondes et dispersion 04-04-21 à 14:40

Bonjour
Pour 1.a) : que signifie pour toi : " fonction d'onde uniforme" ?
D'accord pour 1.b)
Pour 2 : il faut bien faire la différence, y compris dans les notations, entre la pression acoustique p(x,t) et le complexe associé qu'il vaudrait mieux noter p(x,t) .
Qu'est-ce qui te gêne exactement ? As-tu des questions précises à poser ?

Posté par
ferality
re : ondes et dispersion 04-04-21 à 15:22

vanoise @ 04-04-2021 à 14:40

Bonjour
Pour 1.a) : que signifie pour toi : " fonction d'onde uniforme" ?

Bonjour,
Cela signifie que la fonction d'onde a la même valeur en tout point de la surface d'onde (valeur scalaire) pour un instant "t" donné. C'est dans mon cours, uniforme signifie "même valeur pour un instant donné", et constant signifie "même valeur peu importe l'instant". En gros uniforme représente une constance "en fonction de l'espace" (peu importe l'espace la valeur est la même) et constant représenterait une constance "en fonction du temps" (peu importe le temps la valeur reste la même). En tout cas c'est ce que j'ai compris, je peux me tromper.

vanoise @ 04-04-2021 à 14:40


D'accord pour 1.b)
Pour 2 : il faut bien faire la différence, y compris dans les notations, entre la pression acoustique p(x,t) et le complexe associé qu'il vaudrait mieux noter p(x,t) .
Qu'est-ce qui te gêne exactement ? As-tu des questions précises à poser ?


Désolé je n'ai pas été assez clair, en fait la 2.a) et 2.b) je n'arrive pas.
Pour 2.a) je réécris l'expression ainsi pour avoir le binôme :
\omega^2 - c_a^2k^2j\omega\tau-c_a^2k^2 = 0
et la résolution :
\omega = \dfrac{c_a^2k^2j\tau+\sqrt{4c_a^2k^2-c_a^4k^4\tau^2}}{2}

Ca ne m'avance pas beaucoup car la question est "Calculer l'ordre de grandeur de la quantité \omega\tau"...

En y repensant peut-être que finalement je dois juste utiliser la relation \omega = 2\pi f avec f=1MHz ... cela me donnerait la valeur de \omega et ensuite je n'ai qu'à calculer la valeur de \tau en prenant \rho_0 comme étant la masse volumique de l'eau... c'est ça qu'il faut faire ? Si oui c'est simple

Pour la 2.b), j'ai la relation de dispersion \omega = kc_a, donc je remplace \omega^2par k^2c_a^2, et je remplace \omega\tau par l'ordre de grandeur trouvé en 2.a) donc on a :

c_a^2k^2j\omega\tau=0... mais donc k=0 ?? Je ne pense pas...

Posté par
vanoise
re : ondes et dispersion 04-04-21 à 16:15

Les surfaces d'onde sont les lieux des points M de l'espace tels que la pression acoustique soit la même à chaque instant. Cela implique ici : \overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM} : vecteur constant, pas nécessairement le vecteur nul comme tu l'as écrit. Si on s'intéresse à un point H quelconque de la droite passant par O et dirigée par le vecteur \overrightarrow{k} : si M appartient à un plan perpendiculaire à cette droite et passant par H, on a bien :

\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}=\Vert\overrightarrow{k}\Vert.\Vert\overrightarrow{OH}\Vert . Les surfaces d'onde sont donc les plans perpendiculaires à la direction de propagation qui est la direction du vecteur \vec k. Pour cette raison, on parle d'onde plane.

Pour la question 2 : l'application numérique demandée conduit à \omega.\tau\ll1 . Alors ,en notation complexes :

\underline{k^{2}}=\frac{\omega^{2}}{c_{a}^{2}.\left(1+j.\omega.\tau\right)}\approx\frac{\omega^{2}}{c_{a}^{2}}\cdot\left(1-j.\omega.\tau\right)

En supposant la propagation dans le sens positif :

\underline{k}\approx\frac{\omega}{c_{a}}\cdot\sqrt{1-j.\omega.\tau}\approx\frac{\omega}{c_{a}}\cdot\left(1-j.\frac{\omega.\tau}{2}\right) (développement limité...)

Ne pas oublier pour bien comprendre l'intérêt du problème que l'absence d'amortissement conduirait à : k=\frac{\omega}{c_{a}} .

Posté par
ferality
re : ondes et dispersion 04-04-21 à 17:11

vanoise @ 04-04-2021 à 16:15

Les surfaces d'onde sont les lieux des points M de l'espace tels que la pression acoustique soit la même à chaque instant. Cela implique ici : \overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM} : vecteur constant, pas nécessairement le vecteur nul comme tu l'as écrit. Si on s'intéresse à un point H quelconque de la droite passant par O et dirigée par le vecteur \overrightarrow{k} : si M appartient à un plan perpendiculaire à cette droite et passant par H, on a bien :

\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}=\Vert\overrightarrow{k}\Vert.\Vert\overrightarrow{OH}\Vert . Les surfaces d'onde sont donc les plans perpendiculaires à la direction de propagation qui est la direction du vecteur \vec k. Pour cette raison, on parle d'onde plane.


Désolé mais je ne comprend pas, M appartient à la surface d'onde, et H aussi ? Je ne comprend pas à quoi sert H... pour avoir des choses perpendiculaires il faut bien qu'un produit scalaire soit nul à un moment non ?

vanoise @ 04-04-2021 à 16:15


Pour la question 2 : l'application numérique demandée conduit à \omega.\tau\ll1 . Alors ,en notation complexes :

\underline{k^{2}}=\frac{\omega^{2}}{c_{a}^{2}.\left(1+j.\omega.\tau\right)}\approx\frac{\omega^{2}}{c_{a}^{2}}\cdot\left(1-j.\omega.\tau\right)

En supposant la propagation dans le sens positif :

\underline{k}\approx\frac{\omega}{c_{a}}\cdot\sqrt{1-j.\omega.\tau}\approx\frac{\omega}{c_{a}}\cdot\left(1-j.\frac{\omega.\tau}{2}\right) (développement limité...)

Ne pas oublier pour bien comprendre l'intérêt du problème que l'absence d'amortissement conduirait à : k=\frac{\omega}{c_{a}} .


D'accord je vois mieux cette partie, en fait je remplaçais \omega alors qu'il fallait le laisser... merci.

Posté par
vanoise
re : ondes et dispersion 04-04-21 à 19:32

Ton premier raisonnement supposant \vec k\cdot\vec r=0 concerne le plan d'onde (Oyz) mais ce n'est pas le seul plan d'onde possible. Tout plan (P) perpendiculaire au vecteur \vec k donc perpendiculaire à l'axe (Ox) est un plan d'onde. Soit M un point quelconque de ce plan et H son projeté orthogonal sur l'axe (Ox) : voir figure.
Propriété élémentaire du produit scalaire :
Quel que soit M appartenant à (P) :

\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}=\Vert\overrightarrow{k}\Vert.\Vert\overrightarrow{OH}\Vert=k\cdot x
si x désigne l'abscisse du point M.
A un instant donné, la phase de l'onde est donc la même pour tous les points M d'un même plan perpendiculaire au vecteur \vec k .

ondes et dispersion

Posté par
ferality
re : ondes et dispersion 04-04-21 à 20:07

vanoise @ 04-04-2021 à 19:32

Ton premier raisonnement supposant \vec k\cdot\vec r=0 concerne le plan d'onde (Oyz) mais ce n'est pas le seul plan d'onde possible. Tout plan (P) perpendiculaire au vecteur \vec k donc perpendiculaire à l'axe (Ox) est un plan d'onde. Soit M un point quelconque de ce plan et H son projeté orthogonal sur l'axe (Ox) : voir figure.
Propriété élémentaire du produit scalaire :
Quel que soit M appartenant à (P) :

\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}=\Vert\overrightarrow{k}\Vert.\Vert\overrightarrow{OH}\Vert=k\cdot x
si x désigne l'abscisse du point M.
A un instant donné, la phase de l'onde est donc la même pour tous les points M d'un même plan perpendiculaire au vecteur \vec k .

ondes et dispersion


Donc pour tout point M de n'importe quel plan orthogonal à \vec{k}, on calculera à chaque fois la même phase, pour tous les points du plan orthogonal. C'est à dire que pour tout point M d'un plan orthogonal à \vec{k}, on va avoir : A(\vec{r},t)=A_0e^{j.k.x\pm\omega.t} (avec la partie \pm\omega.t qui sera aussi la même pour tous car on considère le même temps t pour chaque point).

Pour la 2.c), je trouve L = \dfrac{-2.c_a}{\omega^2.\tau}, j'ai simplement réinjecté le "k" trouvé en 2.b) dans l'expression de la fonction de pression p(x,t). Cela semble juste ?

Posté par
vanoise
re : ondes et dispersion 04-04-21 à 22:11

OK pour les plans d'onde. Cela revient à dire que dans n'importe quel plan perpendiculaire à la direction de propagation, la pression acoustique à un instant donné est la même en tout point de ce plan.
Attention au signe ! En imaginant une onde sa propageant dans le sens positif de l'axe (Ox), la valeur instantanée de la pression acoustique est la partie réelle du complexe associé :

p_{(x,t)}=p_{o}.e^{-\frac{x}{L}}.\cos\left(\omega.t-k_{r}.x\right)

avec :

L=\frac{2c_{a}}{\omega^{2}.\tau}

Il faut obtenir L>0 : cela correspond à une onde plane qui se propage à la célérité ca avec amortissement : son amplitude p_{o}.e^{-\frac{x}{L}} diminue exponentiellement en fonction de la distance parcourue.

Posté par
ferality
re : ondes et dispersion 05-04-21 à 14:58

D'accord je m'étais effectivement embrouillé dans le signe, c'est bien "+" pour L. J'ai pu calculer les valeurs à la fin. Merci bien vanoise



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