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Onde monochromatique plane

Posté par
Ariel60 18-06-17 à 16:10

Bonjour,j'ai besoin de votre aide pour cet exercice:
Le champ electrique E d'une onde monochromatique plane est donné par: $\vec{E}=Eo[\vec{ex}cos(kz-wt)+\vec{ey}\alpha sin(kz-wt)]$ ;
a et Eo sont constantes.
a)Quel est l'axe de propagation de l'onde?Quel est sa polarisation?
b)Calculer l'intensité du champ électrique de l'onde sachant que la puissance moyenne transportée est égale à 1kw/m^2 et $\alpha$ =1
Pour la a),puisque le vecteur k est porté par ez,alors l'axe de propagation est l'axe Oz.Pour la polarisation,je ne vois pas en quoi elle est elliptique alors que $E_x^2+E_y^2=Eo^2[cos^2(kz-wt)+\alpha^2 sin^2(kz-wt)]$ ne donne pas l'equation d'une ellipse
Pour la b),j'ai\ $\prec \vec P\succ =2/T\int_{0}^{T/2}{P dt}=2/T\int_{0}^{T/2}{E^2/\mu_0C dt}$
Alors\ $\prec \vec P\succ =2/T\int_{0}^{T/2}{Eo^2/\mu_0C[ Cos^2(kz-wt)+\alpha^2 Sin^2(kz-wt)]dt}$ ,mais là je ne connais pas pas z
Merci d'avance

Posté par re : Onde monochromatique plane 18-06-17 à 16:19

Bonjour
Il me semble avoir très récemment répondu à un de tes messages sur une relation de dispersion. Pas de réponse de ta part : as-tu compris ce que j'ai écrit ?
Ici, tu dois savoir que, sur une durée d'une période ou une durée multiple de la période, la valeur moyenne d'un sinus et d'un cosinus est nul, la valeur moyenne du carré d'un sinus ou d'un cosinus valant ½ . Il s'agit ici de calculer une valeur moyenne temporelle pour une valeur de z fixe quelconque.

Posté par re : Onde monochromatique plane 18-06-17 à 18:06

Oui,j'ai bien compris la relation de dispersion;mais ici je ne comprends pas d'où vient le 1/2?Ici ne peut-on juste calculer E avec la relation $P=E^2/\mu_0 C$ ?
Cordialement.

Posté par re : Onde monochromatique plane 18-06-17 à 22:49

Il y a plusieurs approximations dans l'énoncé et dans ton dernier message...
1° L'énoncé parle de l"intensité du champ électrique". Sans doute s'agit-il de l'amplitude E_o.
2° L'énoncé parle de "valeur moyenne de la puissance transportée" et fournit une valeur mesurée en W/m₂ alors que l'unité de puissance est le watt...
La valeur fournie (1kW/m²) correspond sans doute à la puissance moyenne transmise par unité de surface, c'est à dire à la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting.

$\mathscr{E}=<\Vert\overrightarrow{\Pi}\Vert>=\frac{<\Vert\overrightarrow{E}\Vert^{2}>}{\mu_{0}\cdot c}=\varepsilon_{0}\cdot c\cdot<\Vert\overrightarrow{E}\Vert^{2}>=1W/m^{2}$

$<\Vert\overrightarrow{E}\Vert^{2}>=<E_{x}^{2}>+<E_{y}^{2}>=E_{0}^{2}\cdot<[cos^{2}(kz-wt)+\alpha^{2}sin^{2}(kz-wt)]> \\ \\ <\Vert\overrightarrow{E}\Vert^{2}>=E_{0}^{2}\cdot\frac{1+\alpha^{2}}{2}$
Pour démontrer que la valeur moyenne, sur une période ou un multiple de la période, du carré d'un sinus ou d'un cosinus vaut ½, il suffit de poser ce carré sous la forme :

$cos^{2}(kz-wt)=\frac{1+\cos\left(2kz-2wt\right)}{2}\quad;\quad sin^{2}(kz-wt)=\frac{1-\cos\left(2kz-2wt\right)}{2}$

Posté par re : Onde monochromatique plane 18-06-17 à 23:13

Première formule, première lettre : mon éditeur d'équation me donnait un beau "E" majuscule en script comme la première lettre de "éclairement" et, une fois transmis au forum, cela donne un "E" majuscule ordinaire susceptible d'être confondu avec la norme d'un vecteur champ... J'espère que cela ne t'a pas gêné... J'aurais sans doute mieux fait d'utiliser la lettre "I" comme intensité...

Posté par re : Onde monochromatique plane 20-06-17 à 20:19

Bonsoir,
Ok j'ai maintenant compris d'où venait le 1/2;avec k=w/c=2*pi/TC.La polarisation de l'onde est elliptique car (Ex^2+Ey^2)/alpha^2=Eo^2[cos^2(kz-wt)/alpha^2+sin^2(kz-wt)]?
Coridalement.

Posté par re : Onde monochromatique plane 21-06-17 à 12:12

Bonjour
Quelques rappels sur la polarisation.
Imagine que tu sois sur l'axe de propagation (Oz) regardant vers la source donc dans le sens négatif de (Oz). Soit un point M devant toi de cote z. Les coordonnées du vecteur champ électrique en M sont :

$\begin{cases} \\ E_{x}=E_{0}.\cos\left(C-\omega.t\right) & avec\;:\;C=k.z=constante\\ \\ E_{y}=\alpha.E_{0}.\sin\left(C-\omega.t\right) \\ \end{cases}$
L'angle entre l'axe (Ox) et le vecteur champ vaut : =C-.t
Imagine que le vecteur champ soit visible, tu le verrais tourner à la vitesse angulaire dans le sens trigonométrique (antihoraire). On parle alors de polarisation "droite".
Sachant que :

$\cos^{2}\left(C-\omega.t\right)+\sin^{2}\left(C-\omega.t\right)=1\;\forall t \\ \\ \boxed{\frac{E_{x}^{2}}{E_{0}^{2}}+\frac{E_{y}^{2}}{\alpha^{2}.E_{0}^{2}}=1\;\forall t}$
Conclusion : le vecteur champ en M tourne dans le sens trigonométrique, l'extrémité de son représentant décrivant dans le plan (M,x,y) une ellipse. Il s'agit donc d'une polarisation elliptique droite.
Remarque : le cas =1 correspond à une polarisation circulaire droite.