Bonjour Sara,

ton exercice n'a pas grand chose a voir avec l'electromagnetisme ; c'est plutot un simple exercice d'electrostatique. Mais bon...

Pour le traiter, tu as raison : il faut savoir exprimer l'element de volume en coordonneees spheriques, et pour cela connaitre la definition de celles-ci. Voir l'animation flash ci-jointe : on appelle r la distance OM, l'angle entre OM et l'axe vertical Oz ( = angle zenithal), et l'angle entre Ox et la projection de OM sur le plan xOy ( = angle azimutal). Tous les points de la sphere sont atteints si r varie entre 0 et R, entre 0 et et entre 0 et 2 : voila donc les bornes des trois integrations.
L'element de volume dV dans ce systeme de coordonnees s'ecrit dV = r².sin.dr.d.d : pas facile a expliquer car il faut faire une figure. Si tu ne connais pas cette expression ecris-moi, je vais rechercher dans mes cours si je n'ai pas un schema qui traine quelque part.

Maintenant on prend une fonction f(r) a integrer dans la sphere de rayon R. La fonction f ne depend que de la variable r. Dans ce cas, l'integration s'ecrit J = (0,R).(0,).(0,2).f(r).r².sin.dr.d.d, ce qui avec la separation des variables s'ecrit J = (0,)sind.(0,2)d.(0,R)r²f(r).dr.
La premiere integrale vaut 2, la seconde 2. On obtient donc J = 4.(0,R)r²f(r).dr.
On a coutume de presenter ce resultat sous la forme J = (0,R)4r²f(r).dr, ou 4r²est la surface de la sphere de rayon r, et dr l'epaisseur qui separe cette sphere de la sphere infiniment proche de rayon r = dr : la quantite 4r²dr est donc l'element de volume en coordonnees spheriques, lorsque la fonction a integrer ne depend que de la variable r. Tu verifieras facilement que si on choisit la fonction f(r) = 1 pour tout r, on obtient J = (4/3)R³, soit le volume de la sphere de rayon R.

Maintenant, si tu fais f(r) = k, ou kr, ou k.exp(-r), tu obtiendras les trois quantites qui sont demandees. Je te laisse finir le calcul, envoie-moi tes resultats pour  controle.

Remarque : l'expression exp(-r) est incorrecte, car en physique on ne peut pas prendre l'exponentielle d'une longueur. Il aurait fallu ecrire exp(-r/r₀) ou exp(-ar), ou r₀ est une longueur et a l'inverse d'une longueur. A signaler a ton enseignant, car l'analyse dimensionnelle est tres important en physique.

A bientot,  Prbebo.

Merci beaucoup de votre réponse.
Voici mes résultats:

Dans le premier cas f(r)= k, Q= 32/3k
Dans le deuxième cas f(r)= kr, Q= 16k
Dans le troisième cas f(r)= kexp(-r), Q= -32/3kexp(2)

Bonjour Sara,

en toute rigueur tes trois resultats sont faux, car ils devraient dependre de R, dont tu ne donnes aucune valeur numerique... Bon, je devine que tu as pris R = 2 m, mais je vais te donner ce que j'ai obtenu en gardant R litteralement :

1er cas, Q₁ = 4k.R³/3 = k.V_s, V_s etant le volume de la sphere de rayon R. Pas trop de probleme.

2ieme cas, Q₂ = k.R⁴.

3ieme cas : ton resultat est necessairement faux, car il est impossible de passer de exp(-r) a exp(r), ni par derivation ni par integration. Il faut calculer ici la primitive de r².exp(-r).dr ; en integrant deux fois par parties, on obtient
r².exp(-r).dr = - (r² + 2r + 2).exp(-r) (ne nous occupons pas de la constante ; detail du calcul sur demande, mais si je pouvais eviter de le taper ca m'arrangerait bien...). La difference des valeurs de cette primitive, celle pour r = R moins celle pour r = 0, donne 2 - (R² + 2R + 2).exp(-R).
On obtient donc Q³ = 4k.[2 - (R² + 2R + 2).exp(-R)]. Difficile de faire l'analyse dimensionnelle de ce dernier resultat, puisqu'au depart la relation donnant ₃ n'est pas homogene. En revanche on peut remarquer que si R , Q₃ tend vers une constante qui vaut 8k.

Si tu as d'autres soucis avec ce genre de calculs, n'hesite pas a m'ecrire.

A bientot,  B.B.

Dans le cas 1 et 2, j'ai trouvé les mêmes résultats (ce sont mes primitives) sauf que je les ai intégrés entre 2 et 0. Je ne comprends pas pourquoi on ne remplace pas r par les bornes de l'intégrale.

Dans le troisième cas, j'ai intégré r²kexp(-r) avec (-exp(-r))'= exp(-r)
Pourquoi avez-vous utilisé l'expression r²exp(-r) car f(r)=kexp(-r)?

Merci de vos réponses
Sara

PS: une erreur de frappe pour f(r)=kexp(-r) j'ai trouvé Q= -32/3kexp(-2)

Ouha excusez ma lenteur d'esprit, j'ai compris le cas 3

Bonjour Sara,

eh ben, tu as de la chance que moi aussi je sois un peu paresseux le matin, car je m'appretais a te secouer, pour avoir ose poser la question "Pourquoi avez-vous utilisé l'expression r2exp(-r) car f(r)=kexp(-r)?" ! Bon, blague a part, j'espere que tu as compris d'ou vient le r².

Concernant ta derniere reponse pour Q₃ (Q= -32/3kexp(-2)), il y a encore une erreur quelque part... car si la constante k est positive, la densite de charges (r) l'est aussi, et donc Q₃ doit etre necessairement positive. Je t'invite a refaire le calcul completement, y compris la recherche de la primitive de r².exp(-r). Et si possible, en gardant la lettre R jusqu'a la fin, et en faisant R = 2 m au tout dernier moment. En faisant l'application numerique trop vite, impossible de retrouver ses erreurs.

Maintenant, je vais te donner une deuxieme bonne raison pour laquelle il vaut mieux garder la lettre R pour obtenir Q₃ : c'est que maintenant on peut appliquer le theoreme de Gauss pour trouver le champ electrostatique E en un point M situe a la distance R du point O. Ce champ est radial (cad porte par le rayon OM), donc la surface de Gauss est la sphere de centre O et de rayon R, et le flux de E qui sort de cette surface est = 4R².E(R) ; et le theoreme dit que ce flux est egal a Q₃/₀.
L'egalite fournit donc la norme du champ : E(R) = (k/₀).[2 - (R² + 2R + 2).exp(-R)]/R².

Ce resultat est vrai pour toute valeur de R : remplacons donc le rayon R de l'enonce par la variable r, ce qui fournit la norme du champ electrique a n'importe quelle distance r du point O :  E(r) = (k/₀).[2 - (r² + 2r + 2).exp(-r)]/r². Ceci fait, prenons la divergence de E(r). Il faut aller voir dans ton cours ou dans la litterature l'expression de la divergence d'un vecteur en coordonees spheriques, lorsque ce vecteur est radial (cad n'a qu'une composante dans la direction de OM) : div(E) = (1/r²).(r²E)/r.
On applique cette relation en partant de la droite : r²E = (k/₀).[2 - (r² + 2r + 2).exp(-r)]. La derivee par rapport a r du crochet [2 - (r² + 2r + 2).exp(-r)] n'est pas tres dure a obtenir : c'est r².exp(-r). Il ne reste plus qu'a diviser par r² et a multiplier par k/₀, et on obtient div(E) = k.exp(-r)/₀, soit div(E) = /₀.

Cette relation est generale : elle relie le champ electrique E(M) en un point M de l'espace a la densite de charge (M) qui existe en ce point. C'est l'une des quatre equations de Maxwell qui regissent la propagation du champ electromagnetique. Tu vas donc tres bientot en entendre parler.

A bientot,  B.B.

Après avoir refait mes calculs, j'ai trouvé mes erreurs.
Merci beaucoup de vos réponses, j'ai enfin compris

Eh bien, voila une bonne nouvelle ! Si tu as encore des soucis avec l'electromagnetisme, n'hesite pas m'ecrire.

Bonne chance pour la suite de tes etudes.

B.B.