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Notations différentielles

Posté par
tosedarami
15-04-19 à 17:28

Bonjour,

Je suis totalement perdu dans les différentes notations différentielles que l'on utilise en physique.

Par exemple pour appliquer le premier principe de la thermodynamique infinitésimal entre t et t+dt on écrit quelque chose du genre :

dU = \delta Q + \delta W

En supposant que l'on a dU = CdT
Que signifient et que valent alors dU(t) et dU(t+dt) ?

Est ce que l'on a dU = dU(t+dt) - dU(t) ?

Merci de m'éclairer !

Posté par
vanoise
re : Notations différentielles 15-04-19 à 19:17

Bonjour
Une différentielle de fonction d'état correspond à une variation élémentaire de fonction d'état. Soit un système évoluant au cours du temps ; son énergie interne varie au cours du temps :
U=f(t)
La différentielle dU est la variation de U entre t et (t+dt) :
dU=f(t+dt) - f(t) ou si tu préfères :
dU=U(t+dt) - U(t)
Mathématiquement, on a aussi :
dU=f'(t).dt où f'(t) désigne la dérivée de U par rapport à t mais cela n'est pas très utile en thermo.
Bien faire la différence entre la notation "d" et la notation "". Le symbole "" devant Q ou W désigne une quantité élémentaire transférée au système entre les instants de dates t et (t+dt) : quantité élémentaire de chaleur transférée ou quantité élémentaire de travail transféré.

Posté par
tosedarami
re : Notations différentielles 15-04-19 à 19:38

D'accord je comprends mieux merci beaucoup pour votre réponse !

Mais la notation dU(t+dt) - dU(t) ne désigne donc rien de vraiment rigoureux ?
Car je l'ai rencontrée dans un livre (cf capture) et je ne comprends pas ce qu'ils ont voulu dire...

Notations différentielles

Posté par
vanoise
re : Notations différentielles 15-04-19 à 22:56

La différence entre quantité élémentaire (Q) et variation élémentaire assimilée à une différentielle (dU ou dH) est en général bien respectée dans les cours de thermo sur l'application des principes. Elle l'est beaucoup moins dans les autres domaines de la physique ,comme ici la conduction thermique, où les cours ont tendance à utiliser systématiquement la lettre « d » qu'il s'agisse d'une variation élémentaire ou d'une quantité élémentaire. En conduction thermique unidirectionnelle, l'énergie interne par unité de volume dépend à la fois du temps et de l'abscisse x ; on peut la noter u(x,t) ; lettre u minuscule.

La démonstration consiste à s'intéresser à l'énergie interne d'une tranche élémentaire de solide d'épaisseur x. Il s'agit donc d'une quantité élémentaire d'énergie interne qui devrait être notée :

\delta U(x,t)=u(x,t).S.dx

La démonstration s'intéresse à la variation élémentaire de cette quantité élémentaire entre les instants de dates t et (t+dt) :

\delta U(x,t+dt)-\delta U(x,t)=\left[u(x,t+dt)-u(x,t)\right].S.dx=\frac{\partial u}{\partial t}\cdot dt.S.dx

Cette variation élémentaire d'une quantité élémentaire est un infiniment petit du deuxième ordre puisqu'elle fait intervenir le produit dt.dx .

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