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Neurone

Posté par
Camcam1213 13-10-12 à 17:34

Bonjour, j'ai un exercice avec un condensateur et deux sources d'énergie et je ne vois pas trop comment le résoudre. J'ai besoin d'aide s'il vous plait. Voici l'énoncé :

La membrane d'un neurone peut être grossièrement représentée par le modèle électrique de la figure ci-dessous, avec E1= 70 mV et E2= 80 mV
-Lors d'une excitation, l'interrupteur Ke est fermé et Ki est ouvert.
-Lors d'une inhibition l'interrupteur Ke est ouvert et Ki est fermé.

Lors d'une excitation de durée finie, on observe une diminution exponentielle de la différence de potentiel U(t) avec une constante de temps e= 2,0 ms et lors d'une désexcitation (Ke et Ki ouverts) un retour à E1=70 mV avec une constante de temps d= 10ms.

1)Déduire des valeurs de e et d une relation entre R1 et R2.
Si je ne me suis pas trompée, l'excitation est de durée finie donc on est en régime permanent donc R1 et R2 en série et Req= R1+R2. Donc d= (R1+R2)C. Quelqu'un peut-l confirmer s'il vous plait?

2)On considère maintenant une phase d'inhibition.
Établir la solution complète de U(t) du neurone dans les deux cas suivants (on ne demande que des résolutions numériques il faut donc remplacer toutes les données par leurs valeurs numériques dans les équations différentielles):
-1er cas: la cellule est au départ(t strictement inférieur à O) au repos (Ke toujours ouvert)
-2ème cas: la cellule est au départ excitée (Ke s'ouvrant à t=O)

Neurone

Posté par
Marc35re : Neurone 13-10-12 à 21:22

Bonsoir,

Citation :
l'excitation est de durée finie donc on est en régime permanent donc R1 et R2 en série et Req= R1+R2. Donc d= (R1+R2)C

C'est tout à fait inexact... On peut trouver la constante de temps un peu au "pif" comme ça mais il faut du "métier"...
La seule bonne façon est de trouver l'expression de U(t) en écrivant l'équation différentielle et en la résolvant. On peut alors identifier la constante de temps.
On peut aussi utiliser le théorème de Thévenin.

Posté par
Marc35re : Neurone 13-10-12 à 21:24

Citation :
l'excitation est de durée finie donc on est en régime permanent

L'excitation est de durée finie certes mais rien ne prouve que l'on atteint le régime permanent... Ce serait même le contraire puisqu'on atteint le régime permanent quand t+ et l'excitation est de durée finie...

Posté par
Camcam1213re : Neurone 13-10-12 à 21:51

Merci pour la réponse ,mais je ne comprend pas un seul mot...Pourrais-tu être un peu plus clair s'il te plait? Comment je fais ma résistance équivalente alors?
Pour u(t) est-ce que c'est la même chose que uc? Est-il juste d'écrire u(t)= E-R*i= uc? Comment je peux faire si j'ai Ki fermé également,je simplifie mon circuit?

Posté par
Marc35re : Neurone 13-10-12 à 22:53

Citation :
Comment je peux faire si j'ai Ki fermé également,je simplifie mon circuit?

A priori, ce n'est pas possible... Les deux interrupteurs ne peuvent pas être fermés simultanément si j'ai bien compris...
Ecris l'équation différentielle avec Ke fermé et Ki ouvert.

Posté par
Camcam1213re : Neurone 14-10-12 à 11:32

Le problème c'est que j'ai deux égalités: E1-Ur1= Uc = Ur2
Est-ce que je fais un système?

Posté par
Marc35re : Neurone 14-10-12 à 13:06

Pendant une excitation, l'interrupteur Ke est fermé et l'interrupteur Ki est ouvert.
\large i_C\,=\,C\,\frac{dU}{dt}
En prenant le bon sens (sens de E1)  de parcours sur la maille E1, R1, C :
\large E_1\,-\,R_1\,i_1\,-\,U\,=\,0
D'autre part, on a :
\large U\,=\,-\,R_2\,i_2
Et la loi des noeuds nous dit :
\large i_1\,+\,i_2\,=\,i_C
Etant muni de ces 4 équations, on peut réussir à écrire l'équation différentielle du circuit.
\large i_1\,+\,i_2\,=\,i_C\,\Rightarrow\,i_1\,=\,i_C\,-\,i_2
D'où :
\large E_1\,-\,R_1\,i_1\,-\,U\,=\,0\,\Rightarrow\,E_1\,-\,R_1\,\left(i_C\,-\,i_2\right)\,-\,U\,=\,0
\large E_1\,-\,R_1\,i_C\,+\,R_1\,\,i_2\,-\,U\,=\,0
Mais :
\large U\,=\,-\,R_2\,i_2\,\Rightarrow\,i_2\,=\,-\,\frac{U}{R_2}
Et :
\large i_C\,=\,C\,\frac{dU}{dt}
Donc :
\large E_1\,-\,R_1\,C\,\frac{dU}{dt}\,-\,\frac{R_1}{R_2}\,U\,-\,U\,=\,0
Que l'on peut écrire :
\large \frac{dU}{dt}\,=\,-\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}\,U\,+\,\frac{E_1}{R_1C}
Comme tu es dans le niveau "Autre", je ne connais pas ton niveau mais on va résoudre cette équation différentielle à la "sauce terminale"...
\large y'\,=\,ay+b\,\Rightarrow\,y\,=\,K\,e^{-ax}\,-\,\frac{b}{a}
Donc :
\large \frac{dU}{dt}\,=\,-\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}\,U\,+\,\frac{E_1}{R_1C}\,\Rightarrow\,U\,=\,K\,e^{-\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}t}\,-\,\frac{\frac{E_1}{R_1C}}{-\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}}

\large U\,=\,K\,e^{-\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}t}\,+\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1

\large U(t)\,=\,K\,e^{-\,\frac{t}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C}}\,+\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1
On peut aller jusqu'au bout en supposant que C est déchargé au début.
\large U(0)\,=\,0\,=\,K\,+\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1\,\Rightarrow\,K\,=\,-\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1
Donc :
\large U\,=\,-\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1\,e^{-\,\frac{t}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C}}\,+\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1

\Large U\,=\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1\left(1\,-\,e^{-\,\frac{t}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C}}\right)
On aurait pu le voir avant mais la constante de temps est :
\Large \tau_e\,=\,\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C

On peut le faire beaucoup plus rapidement avec le théorème de Thévenin si tu connais...

Neurone

Posté par
Camcam1213re : Neurone 14-10-12 à 13:43

Ok super merci.
Je suis en prépa de biologie et oui je connais a peu près Thévenin.
Donc le u(t) c'est l'équation de u lors de la phase d'excitation?
Pour la phase d'inhibition dans la question 2 ,on peut transformer le circuit avec le modèle de norton puis de thévenin?

A ce moment si je ne me trompe pas on a un circuit très simplifié avec un générateur de tension idéal ,une resistance  et le condensateur.Et Eeq= Req* (E1/R1 + E2/R2). Est-ce que c'est correct?

Posté par
Camcam1213re : Neurone 14-10-12 à 13:44

Pardon j'ai oublié le schéma

Neurone

Posté par
Marc35re : Neurone 14-10-12 à 16:20

Pour la phase d'inhibition, il faut appliquer Thévenin, ça suffira...
Le schéma équivalent est bon . OK pour Eeq mais pour la constante de temps, on n'en a pas besoin.
La constante de temps est donc la même dans les deux cas.

Erreur !!... d est la constante de temps de désexcitation avec Ki et Ke ouverts.
On n'a plus que R1 dans le circuit. la constante de temps est donc R1C.

Posté par
Camcam1213re : Neurone 14-10-12 à 16:28

Ok merci.
Mais pour la phase d'inhibition, les deux générateurs de tension idéal sont en dérivation non? Il faut donc passer par Norton?
Oui tu a raison pour Td ,c'est moi qui me suis emmêlé les pinceaux.
Est-ce que l'équation de u est la même que pour la question 2 alors? Je n(ai pas bien compris.

Posté par
Marc35re : Neurone 14-10-12 à 17:29

Citation :
les deux générateurs de tension idéal sont en dérivation non? Il faut donc passer par Norton?

Pas nécessaire de se compliquer la vie avec un générateur de courant...
Donc on a :
\Large \tau_e\,=\,\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}C\,=\,2.10^{-3}
Et :
\Large \tau_d\,=\,R_1C\,=\,1.10^{-2}
Je pense que tu peux trouver la relation entre R1 et R2...

Pour la 2, il faut écrire à nouveau l'équation différentielle parce que le circuit n'est pas le même. Mais le principe est le même.
On peut le faire avec les lois des mailles et des noeuds ou utiliser le théorème de Thévenin (plus simple apparemment).
Si tu n'y arrives pas, je le ferai...

Posté par
Marc35re : Neurone 14-10-12 à 17:39

Tu le veux par les lois des mailles et des noeuds ou par le théorème de Thévenin ?

Posté par
Camcam1213re : Neurone 14-10-12 à 18:15

Je voudrai bien le faire par la loi des mailles et des noeuds s'il te plait. Et j'ai trouvé que R1=4*R2
J'ai aussi trouvé l'équation différentielle pour le 1er cas, c'est si je ne me suis pas trompée:
uc= 4/5 (E1-E2)* exp (-t/req*c)+ Eeq

Posté par
Marc35re : Neurone 14-10-12 à 23:35

OK pour R1 = 4 R2
\large E_1\,-\,R_1\,i_1\,-\,U\,=\,0
\large E_2\,-\,R_2\,i_2\,-\,U\,=\,0
\large i_C\,=\,i_1\,+\,i_2
\large i_C\,=\,C\,\frac{dU}{dt}

\large i_C\,=\,i_1\,+\,i_2\,\Rightarrow\,i_&\,=\,i_C\,-\,i_2
\large E_1\,-\,R_1\,\left(i_C\,-\,i_2\right)\,-\,U\,=\,0
\large E_1\,-\,R_1\,i_C\,+\,R_1\,i_2\right)\,-\,U\,=\,0
\large E_2\,-\,R_2\,i_2\,-\,U\,=\,0\,\Rightarrow\,i_2\,=\,\frac{E_2\,-\,U}{R_2}
Donc :
\Large E_1\,-\,R_1\,i_C\,+\,R_1\,\frac{E_2\,-\,U}{R_2}\right)\,-\,U\,=\,0
\Large E_1\,-\,R_1\,C\,\frac{dU}{dt}\,+\,\frac{R_1}{R_2}\,E_2\,-\,\frac{R_1}{R_2}\,U\,-\,U\,=\,0

\Large \frac{dU}{dt}\,=\,-\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}\,U\,+\,\frac{R_2E_1+R_1E_2}{R_1R_2C}
D'où :
\Large U(t)\,=\,K\,e^{-\,\frac{t}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,C}}\,-\,\frac{\frac{R_2E_1+R_1E_2}{R_1R_2C}}{-\,\frac{R_1+R_2}{R_1R_2C}}

\Large U(t)\,=\,K\,e^{-\,\frac{t}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,C}}\,+\,\frac{R_2E_1+R_1E_2}{R_1+R_2}}

Les conditions initiales permettent de déterminer K :
\Large U(0)\,=\,U_0\,=\,K\,+\,\frac{R_2E_1+R_1E_2}{R_1+R_2}}\,\Rightarrow\,K\,=\,U_0\,-\,\frac{R_2E_1+R_1E_2}{R_1+R_2}}
Donc :
\Large U(t)\,=\,\frac{R_2E_1+R_1E_2}{R_1+R_2}}\,\left(1\,-\,e^{-\,\frac{t}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,C}}\right)\,+\,U_0\,\,e^{-\,\frac{t}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,C}}

On peut alors adapter cette solution aux deux cas qui sont donnés.
1er cas  : U_0\,=\,0  si j'ai bien compris
2ème cas : U_0\,=\,?
" la cellule est au départ excitée (Ke s'ouvrant à t = 0) "==> c'est un peu flou... A-t-on atteint le régime permanent ? Sans doute...
Si on se réfère au premier calcul, le régime permanent est tel que  U\,=\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1
Donc :
\Large U_0\,=\,\frac{R_2}{R_1+R_2}\,E_1\,=\,\frac{1}{\frac{R_1}{R_2}+1}\,E_1\,=\,\frac{1}{4+1}\,0,070\,=\,\frac{0,070}{5}\,=\,1,4.10^{-\,2}\,\,V

Pour l'application numérique, il suffit de remplacer les données par les valeurs données.
Sous réserve que j'ai bien compris les conditions initiales parce que ce n'est pas très clair...

Citation :
-1er cas: la cellule est au départ(t strictement inférieur à O) au repos (Ke toujours ouvert)
-2ème cas: la cellule est au départ excitée (Ke s'ouvrant à t=O)


Neurone

Posté par
Camcam1213re : Neurone 16-10-12 à 21:09

Ok j'ai compris (normalement) . Désolée j'ai du te gâcher ton week-end...Merci beaucoup !

Posté par
Marc35re : Neurone 16-10-12 à 21:46

Faire de la physique, cela ne peut rien gâcher en ce qui me concerne...


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