Niveau licence

Moyenne opérateur

Posté par
jean78 12-10-18 à 18:49

Bonjour,

j'aurais une question d'ordre technique.

J'ai un état : $|\Psi>=\frac{1}{\sqrt2}(|\uparrow \downarrow> - |\downarrow \uparrow>)$ , où $|\uparrow \downarrow> = |\uparrow> \otimes |\downarrow>$ , produit tensoriel des vecteurs propres de $S_z=\frac{\hbar}{2} \sigma_z \\$ , avec $\sigma_z$ la matrice de Pauli z en notation standard.
On note $\mathbf{\sigma_i}.\mathbf{a}$ l'opérateur "mesurant" le spin de la particule i (i=1,2) dans la direction du vecteur unitaire $\mathbf{a}$ .

On s'intéresse à la valeur moyenne de $\mathbf{\sigma_1}.\mathbf{a} \otimes \mathbf{\sigma_2}.\mathbf{b}$ , soit $<\Psi| \mathbf{\sigma_1}.\mathbf{a} \otimes \mathbf{\sigma_2}.\mathbf{b} |\Psi>$ . Cette valeur vaut -1 si a=b.

Instinctivement je dirais que la valeur de cette moyenne est $-cos(\theta)$ , où $\theta$ est l'angle en a et b.

Cependant j'aimerais pouvoir le démontrer proprement à partir de $<\Psi| \mathbf{\sigma_1}.\mathbf{a} \otimes \mathbf{\sigma_2}.\mathbf{b} |\Psi>$ .

Merci d'avance pour votre aide.