Niveau licence

Mouvement hélicoïdal - cinématique

Posté par
Dragonfruit 15-10-17 à 16:27

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à faire pour dans pas longtemps et j'aimerai, s'il vous le voulez bien, m'aider.

Dans un référentiel R(O, $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ ) fixe, la trajectoire d'un point mobile P est donnée en fonction du temps t par les équations paramétriques suivantes :

$\begin{cases} & \text{ x(t) } = A cos(\omega t)\\ & \text{ y(t) } = A sin(\omega t)\\ & \text{ z(t) } = B\omega t \end{cases}$

Mouvement hélicoïdal - cinématique

1) Donner les dimensions des constantes A, B et $\omega$ .

J'ai trouvé :

[A]=L
[B]=L.T^-1
[ $\omega$ ]=L^-1

Est-ce bien cela ?

2) Déterminer les composantes v_x, v_y et v_z du vecteur vitesse $\vec{v}$ ainsi que sa norme $\begin{Vmatrix} \vec{v} \end{Vmatrix}$ .

J'ai trouvé :

$\vec{v}=\frac{d\rho }{dt}\vec{u}_{\rho} +\rho \frac{d\theta }{dt}\vec{u}_{\theta }+\frac{dz}{dt}\vec{k}$
Mais il faut changer avec la base de l'exercice, qui est bien une base orthonormée directe ?

Pour la norme il faut faire :
$\begin{Vmatrix} \vec{v} \end{Vmatrix}=\begin{vmatrix} v(t) \end{vmatrix}$ ?

3) Déterminer les composantes a_x, a_y et a_z du vecteur accélération $\vec{a}$ ainsi que sa norme $\begin{Vmatrix} \vec{a} \end{Vmatrix}$ .

$\vec{a}=[\frac{d^2\rho }{dt^2}-\rho (\frac{d\theta }{dt})^2]\vec{u}\rho +[2\frac{d\rho }{dt}*\frac{d\theta }{dt}+\rho \frac{d^2\theta }{dt^2}]\vec{u}\theta +\frac{d^2z}{dt^2}\vec{k}$
C'est pareil il faut changer par rapport à la base de l'exercice ?

Pour la norme, on fait :
$\begin{Vmatrix} \vec{a} \end{Vmatrix}= \sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2+a_{z}^2}$ ?

4) Déterminer les modules de la composante tangentielle $\begin{vmatrix} a_{n} \end{vmatrix}$ de l'accélération.

$\vec{a}_{n}=a_{n} \vec{n}=\frac{v^2}{R_{c}} \vec{n}$ ?

5) En déduire la valeur absolue du rayon de courbure R_c en un point P quelconque.

$\vec{MC}=R_{c} \vec{m}$ ?

6) Tracer la trajectoire projetée dans le plan (xOy).

7) On définit le pas d'une hélice h comme la distance parcourue selon l'axe z après un tour (cf schéma). Quel est le pas de cette hélice ?

Je vous remercie par avance.

Posté par re : Mouvement hélicoïdal - cinématique 15-10-17 à 16:51

Hello

Pas mal de confusion tout de même dans ce que tu écris ...

1) OK pour la dimension de A, par contre à la dimension de l'inverse d'un temps et B de ce fait à la dimension d'une longueur

2) Pourquoi donc passes tu par des coordonnées cylindriques. Calcule simplement dx/dt, dy/dt et dz/dt, tu auras les composantes vx, vy et vz, puis tu pourras calculer la norme de ce vecteur

Idem pour les composantes de l'accélération de la question 3)

4) an généralement désigne l'accélération Normale, et at l'accélération Tangentielle ... à toi de choisir

A toi?

Posté par re : Mouvement hélicoïdal - cinématique 19-10-17 à 19:09

Alors j'ai trouvé quelques trucs mais je suis pas sûre :

1) [A]=L, [B]=L, [ $\omega$ ]=T^-1

2) v_x=A $\omega sin(\omega t)$
v_y=-A $\omega cos(\omega t)$
v_z=B $\omega$

$\begin{Vmatrix} \vec{v} \end{Vmatrix}=\omega \sqrt{A^{2}+B^{2}}$

3) a_x=-A $\omega ^2cos(\omega t)$
a_y=-A $\omega ^2sin(\omega t)$
a_z=0

$\begin{Vmatrix} \vec{a} \end{Vmatrix}=A\omega ^2$

4) $\begin{vmatrix} a_{t} \end{vmatrix}=0$
$\begin{vmatrix} a_{n} \end{vmatrix}=A\omega ^2$

5) $R_{c}=\frac{A^2+B^2}{A}$

6) Pour tracer le trajectoire on fait juste un cercle avec les axes 0, x et y ?

7) Pour le pas de l'hélice on fait :

h= $\begin{vmatrix} z_{0}-z_{1} \end{vmatrix} <=> z_{1}=B\omega t_{1}$
k tour(s)=2k
k=1 pour 1 tour
<=> 1 tour = 2

z₁= $(B\omega t)2\pi$
h= $\begin{vmatrix} B\omega t-(B\omega t)2\pi \end{vmatrix}$
h= $\begin{vmatrix} B\omega t(1-2\pi ) \end{vmatrix}$

Les questions dont je suis le moins sûre c'est les questions 5, 6 et surtout 7, merci de bien vouloir m'éclairer.

Posté par re : Mouvement hélicoïdal - cinématique 20-10-17 à 10:15

1)

2)   tu te "mélanges les pinceaux" dans la dérivation  (cos)' = - sin  et (sin)' = cos

3)   +    (parce que tu te mélanges 2 fois de suite les mêmes pinceaux tu retombes sur tes pieds )

4)

5)   (prends peut être le temps de le justifier)

6)   En effet, la projection de l'hélice sur le plan xOy est le cercle de centre O et de rayon A

7)

Pour un tour parcouru dans un intervalle t on a:  t = 2

Donc z = Bt = ...