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Mouvement hélicoïdal

Posté par
Samuel7 01-04-21 à 00:30

Bonsoir.
J'ai un exercice qui demande d'exprimer des notions que je ne maîtrise pas vraiment concernant l'étude des mouvements hélicoïdaux :

Dans un référentiel R matérialisé par (Oxyz),un point M décrit un mouvement de telle sorte:
-le mouvement de P,son projeté dans le plan (Oxy) soit circulaire uniforme (de rayon R et vitesse angulaire ,
-le mouvement de H son projeté sur (Oz) soit rectiligne uniforme à la vitesse v0.
1-Exprimer les vecteurs position, vitesse et accélération de ce mouvement en coordonnées cylindriques et en coordonnées cartésiennes.
2-Carctériser  le mouvement du point M suivant (Ox) et (Oy).
3-Exprimer l'élément d'arc ds en fonction de d,det dz. Expliciter en particulier ds/dt.
4-Exprimer l'élément d'arc ds en fonction de dx,dy, et dz, puis exprimer ds en fonction de R,,v0 et dt. Retrouver l'expression de ds/dt.
5-Calculer l'abscisse curviligne s=M0M entre M0(t=0) et M(t).

Voilà

Pour la question1 j'ai pratiquement les réponses dans mon cours mais je me demande si le fait que le mouvement soit uniforme change quelque chose à mes expressions qui sont associées à une composition circulaire dans un plan parallèle à Oxz et d'un mouvement rectiligne suivant l'axe Oz. J'ai l'impression que non mais j'aimerais avoir votre avis.

J'aurais préféré les réécrire mais je rédige actuellement avec mon phone donc j'ai pas assez de confort pour écrire les symboles mathématiques.

Pour le 2 je n'ai pas d'idée sur ce qui m'est demandé.
Ainsi que pour le reste.
Tout ce que j'ai encore dans le cours c'est principalement ceci mais je ne sais pas comment s'en servir
En coordonnées cylindriques
Le module de la vitesse est v=d/dt √(R²+h²), h étant le pas réduit de l'hélice.

ds=[√(R²+h²)]d.
J'ose que j'ai là l'élément demandé au 3.
Est-ce que ds/dt demandé donne [√(R²+h²)] en prenant t=?

La dernière expression que j'ai est celle-ci
S(t)=(t)[√(R²+h²)]+ S(0).

Guidez-moi svp
Merci d'avance.

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 01-04-21 à 07:21

Bonjour,

1- On vous demande l'accélération, donc le fait que le mouvement soit uniforme simplifie considérablement celle-ci, non ?
2- Je pense qu'on vous demande simplement  de reconnaitre dans x(t) un mouvement classique/connu.
3- Votre réponse a l'air correcte, mais tel que le texte est rédigé, on vous demande de démontrer cette relation. D'autre part, h n'est pas une donnée, il faut donc préciser comment vous retrouver h ; cela devait apparaitre de manière naturelle dans le calcul de ds/dt.
4-
5- OK

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 01-04-21 à 12:38

Bonjour,
Merci pour votre indication. Je soumets donc ceci:
1-Coordonnées cartésiennes:
Le mouvement est hélicoïdal uniforme donc =t.
On a donc:
Vecteur position:\overrightarrow{OM}=Rcos(wt)\vec{i}+Rsin(wt)\vec{j}+hwt\vec{k}

Vecteur vitesse:\overrightarrow{v}=-R\omega sin(wt)\vec{i}+R\omega cos(wt)\vec{j}+hw\vec{k}

Vecteur accélération:\overrightarrow{v}=-R\omega^{2} cos(wt)\vec{i}-R\omega^{2} sin(wt)\vec{j}

Coordonnées cylindriques:
Vecteur position:\overrightarrow{OM}=R\vec{u_{\rho }}+h\omega \vec{u_{z}}

Vecteur vitesse:\vec{v}=\frac{d\vec{OM}}{dt}= \frac{dR}{dt}\vec{u_{\rho }}+R\frac{d\vec{u_{\rho }}}{dt}+h\omega \vec{u_{z}} =R\omega \vec{u_{\theta }}+h\omega \vec{u_{z}}

Vecteur accélération:\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}= -R\dot{\theta ^{2}}\vec{u_{\rho }}+\ddot{\theta }(R\vec{u_{\theta }}+h\vec{u_{z}}).
\ddot{\theta }=0 donc
\vec{a}= -R\omega ^{2}}\vec{u_{\rho }}

2-A ce niveau
je n'arrive toujours pas à comprendre. Dans le plan le mouvement du point est circulaire uniforme comme il est dit non?

3-Expression de ds

\vec{v}=w(R\vec{u_{\theta }}+h\vec{u_{z}}) donc v=\omega \sqrt{R^{2}+h^{2}}.
or v=\frac{ds}{dt} donc
ds=\sqrt{R^{2}+h^{2}}d\theta

4-Je n'ai aucune idée à ce niveau.
5-Abscisse curviligne

s(t)=\int_{M_{0}}^{M}{ds}=\int_{t_{0}}^{t}{v dt}
Je ne sais comment continuer. Veuillez vérifier mes résultats svp. Merci d'avance.

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 01-04-21 à 13:28

Bonjour,

1- h ne fait pas partie des données, il faut partir des données : (R et v0).
2- on vous parle du mouvement du point M suivant (Ox). Qu'en dire (du mouvement selon OX pris seul) ? Puis recommencez avec (Oy)
3- h ne fait pas toujours partie des données. Le texte est clair : "Exprimer l'élément d'arc ds en fonction de d, d et dz". Commencez par là. Cela ne veut pas dire que ce que vous écrivez est faux, mais vous ne répondez pas à la question.
4- c'est la même chose que la 3 mais en cartésiennes, si vous savez faire 3, vous savez faire 4. Je vais prendre votre méthode :  vous écrivez v=ds/dt pour trouver ds, il suffit donc d'écrire v en cartésiennes.
5- Vous connaissez v, quel problème rencontrez-vous dans l'intégration \int v \rm{d} t

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 01-04-21 à 13:59

D'accord. Donc  je remplace h par quoi? En réalité h est le quotient de  la distance séparant deux passages successifs sur Oz  par 2.

Au 2 suivant Ox le mouvement de M est sinusoÏdal vu l'expression de x(t).Mais suivant Oy je ne sais que conclure.

Pour le 3 est-ce que je peux remplacer h par dz/2?
4- donc j'exprime \vec{u_{\theta }} en fonctions des vecteurs unitaires pour continuer

5-Ah okay je continue donc

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 01-04-21 à 14:18

Pour le 2 : OK pour x. Je ne vois pas ce qui vous empêche de conclure pour y : cela ressemble quand même beaucoup à ce qui se passe sur x.

Vous n'avez pas à remplacer h, vous avez à utiliser les données du texte. En cours de calcul, vous devriez voir apparaitre quelque chose qui ressemble à vos expressions avec h, vous pourrez alors identifier éventuellement.

Pour le 1, selon z  "rectiligne uniforme à la vitesse v0", donc que vaut z(t) et \ddot z(t) ?

Pour le 4, vous êtes en cartésiennes, il n'y a donc pas de \vec{u_\theta}

Pour le 3 et le 4, il ne faut pas vous accrocher à une formule connue, mais répondre à la question que je vais transcrire : exprimer le déplacement élémentaire \rm{d}\vec{\ell}  soit en coordonnées polaires (3), soit en cartésiennes (4), puis calculer sa norme ds.

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 01-04-21 à 14:32

D'accord. Pour le y c'est en raison du "sin" que je ne savais que conclure. Je sais quand même que y=(-1/)(dx/dt). Je peux donner la même conclusion que pour le x?
Mon cours me dit qu'un mouvement rectiligne est sinusoÏdal si l'équation du mouvement est de la forme: x=Acos(wt-),A, amplitude, phase initiale.C'est pour cela que j'hésitait.

Ah je vois mieux pour le z du 1). j'ai complètement oublié cette partie de l'énoncé. z(t) vaut v0t et \ddot{z}(t)=0.

Merci

Je vous reviens pour le 3 et 4 dès que j'aurai fini.

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 01-04-21 à 14:36

"mouvement rectiligne est sinusoïdal si l'équation du mouvement est de la forme: x=Acos(wt-)"

Mais on sait que Acos(wt-)=Asin(wt-+/2), donc sinus et cosinus sont les mêmes fonctions à un décalage d'origine près.

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 17:08

Bonsoir,
je reviens sur cet exercice pour soumettre ma proposition pour les numéros 3,4
3) d\vec{l}=d_{\rho }\vec{u_{\rho }}+\rho d_{\theta}\vec{u_{\theta }}+d_{z}\vec{u_{z}}
donc ds=d_{\rho }+\rho d_{\theta}+d_{z}. Ici =R donc
ds=d_{\rho }+R d_{\theta}+d_{z}

Cas particulier ds/dt
\frac{ds}{dt}=\frac{d_{\rho }}{dt}+R\frac{d_{\theta }}{dt}+\frac{d_{z}}{dt}

4)d\vec{l}=dx\vec{i}+dy\vec{j}+dz\vec{k} donc
ds=dx+dy+dz = (Rcos(t)+Rsin(t)+v0t)dt
Comment retrouver alors ds/dt trouvé au 3)?

Prière vérifier mes expressions avant que je n'aille au 5). Merci.

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 17:15

Bonjour,

La norme d'un vecteur n'est pas la somme de ces composantes :
si \vec{V}=x\vec{u_x}+y\vec{u_y}+z\vec{u_z}, alors \mid \vec{V}\mid^2=x^2+y^2+z^2

Si \rho=R, cela signifie que \rho est constant et donc \rm{d}\rho=0

Reprenez les calculs avec la bonne expression de la norme et vous devriez retomber sur \frac{\rm{d}s}{\rm{d}t}=\sqrt{R^2+h^2}\frac{\rm{d}\theta}{\rm{d}t}  

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 17:25

D'accord. J'ai une dernière inquiétude: Pourquoi le h puisque j'ai plutôt z(t)=v0t?

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 17:40

Je suis parti de vos expressions, mais en suivant le texte, il n'y aura bien sûr pas de h.

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 18:12

J'obtiens \frac{ds}{dt}=(\sqrt{R^{2}d\theta ^{2}+v_{0}^{2}})/dt
Est-ce juste ou y a-t-il des opérations que je peux encore faire?

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 18:35

Cela ressemble à ce qu'il faut,

Quand on a des carrés, il est plus léger de calculer avec ceux-ci et ne prendre la racine qu'à la fin.

Votre formule n'est pas homogène : R^2\rm{d}\theta^2, infiniment petit d'ordre deux et v_0^2, terme fini, sans parler de la dimension.

Mais la direction est la bonne, pour le terme en v0, il doit y avoir un dt d'oublié, pour celui en d, il faut l'expliciter (à l'aide de dt) avant de passer à ds/dt.

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 20:51

Je ne sais pas si j'ai bien compris mais j'ai ceci:
dS²=R²d²+v0²
=R²²dt²+v0²dt

ds²/dt²=R²²+(v0²)/dt

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 21:08

Ce n'est toujours pas homogène !
Vous écrivez :  \rm{d}\vec{\ell}=\rm{d} \rho \vec{u_\rho}+\rho \rm{d} \theta\vec{u_\theta}+\rm{d} z\vec{u_z} .
Pour alléger, je me place tout de suite dans le cas de l'hélice.
\rm{d}\vec{\ell}=R \  \omega \ \rm{d} t\ \vec{u_\theta}+v_0 \  \rm{d} t \  \vec{u_z} .
En effectuant le produit scalaire avec lui-même :
ds^2=\rm{d}\vec{\ell} \cdot \rm{d}\vec{\ell}=\left(R^2 \  \omega^2+v_0^2\right)\rm{d} t^2
Soit \frac{ds}{dt}=\sqrt{R^2 \  \omega^2+v_0^2}
Si l'on met en facteur, on retombe sur qqch qui correpond au message initial  \frac{ds}{dt}=\omega\sqrt{R^2 +\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}, mais cette fois ci on a bien suivi le cheminement imposé par le texte.

Posté par
gts2re : Mouvement hélicoïdal 03-04-21 à 21:11

Le contrôle à tout instant de l'homogénéité devrait être une de vos priorités : dans la dernière formule, vous avez un terme fini égal à un terme fini plus un infiniment grand.
Dans ce cas, vous revenez en arrière pour vous apercevoir qu'en élevant v0 dt au carré vous avez oublié le dt.

Posté par
Samuel7re : Mouvement hélicoïdal 04-04-21 à 01:07

Merci beaucoup gts2 pour votre aide et vos conseils dans la résolution de cet exercice!


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