Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie LycéeOn parle exclusivement de physique/chimie, niveau lycée. TerminaleForum de terminale PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau terminale
Partager :

Mouvement dans un champ uniforme

Posté par
moctar 12-10-07 à 13:42

Bonjour,

Citation :
Une sphère homogène pleine de rayon R,de masse volumique \mu est plongé dans un réservoir de grandes dimensions rempli d'un liquide de masse volumique \mu_0.(On donne \mu_0\le \mu)
Les forces qui s'exercent sur la sphère sont:
-le poids;
-la poussée d'Archiméde;
-Les forces de frottements équivalentes à une force unique \vec{f} de la forme \vec{f}=-k\vec{v};k est une constante positive et \vec{v} la vitesse instantanée de la masse.
La sphère est abandonnée sans vitesse initale à la date 0.
1-)Etablir l'équation différentielle vérifiée par la vitesse instantanée v.
2-)Résoudre l'équation en tenant compte des conditions intiales.
Trouver la vitesse limite de la sphère.
A.N:\mu_0=133kgm^{-3};\mu=8000kgm^{-3};k=0.031SI;g=10SI


1)
En appliquant le TCI on a:

4$\vec{P}+\vec{F}+\vec{f}=m\vec{a}

En projetant les forces sur un axe vertical orienté vers la bas j'ai:

4$mg+F-kv=ma

or : 4$m=\frac{4\pi R^3\mu}{3},4$F=\frac{4\pi R^3\mu_0 g}{3} et 4$a=v'
Donc:

4$\frac{4\pi R^3\mu g}{3}+\frac{4\pi R^3 \mu_0 g}{3}-kv=\frac{4\pi R^3\mu}{3}v'

En dérivant on arrive à l'équation différentielle suivante:

4$v''+\frac{3k}{4\pi R^3\mu}v'=0

2)
En résolvant l'équation différentielle je trouve que v est de la forme 4$v(t)=A+Be^{\frac{-3k}{4\pi R^3\mu}t}

4$v(0)=0\Longrightarrow A+B=0

Je ne sais pas comment continuer,est ce que ce que j'ai fait est juste ?

Merci

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:05

Bonjour moctar

1) Dans quel sens agit la poussée d'Archimède ?
Il faut donc revoir (un peu) ce qui est écrit après le "Donc:"

2) Pourquoi dérives-tu ?
la vitesse est v
l'accélération est bien, comme tu l'as écrit, a = v'

Tu as donc une équation (différentielle) de la fonction v du temps et de sa dérivée première v'
De la forme y' = a y + b
ici
v' = a v + b

Posté par
Nofutur2re : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:06

Attention au signe des forces (en particlier la force d'archimede).
Prends x(t) comme variable.
x(0)=0 et x'(0)=0.

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:11

La force d'Archiméde est dirigé vers le haut.
Sinon je n'ai pas appris à résoudre les équations différentielle de la forme y'=ay+b.
Merci

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:15

Oui, la force d'Archimède est dirigée vers le haut. D'après ce que tu as écrit il me semble que tu as orienté (c'est un bon choix) l'axe vertical vers le bas, donc... il y a un signe à changer !

Pour l'équation différentielle : (Lien cassé)

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:18

Pour pouvoir faire l'application numérique il manque le rayon de la sphère R

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:22

Le rayon n'a pas été donné.

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:40

En résolvant l'équation je trouve:

4$v(t)=Ce^{-\frac{3k}{4\pi R^3\mu}}+\frac{4g\pi R^3\mu_0 (\mu -\mu_0)}{2k\mu_0}

Est ce juste ?

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:41

j'ai oublié le t sur l'exponentielle...

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:48

Selon moi :
En effet tu as oublié le temps dans l'exponentielle.

Mais de plus :
. il y a aussi un g au dénominateur dans l'exponentielle
. tu peux simplifier le terme constant ; selon toi par \mu_0 et selon moi par \mu

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:48

Enfin au dénominateur du terme constant ce n'est pas 2 mais 3

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:50

Tu n'as pas encore tenu compte des conditions initiales qui te permettent de calculer la valeur de C

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:52

Erreurs dues au latex
Pour trouver la valeur de C,il pense qu'il suffit de poser v(0)=0.

Merci

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 14:53

Oui, pour t = 0, v(0) = 0

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 15:06

J'ai refait mes calculs et je trouve:

4$v(t)=-\frac{4\pi gR^3(\mu -\mu_0)}{3k}e^{-\frac{3k}{4\pi R^3\mu}t}+\frac{4\pi gR^3(\mu -\mu_0)}{3k}

J'ai pas de g au dénominateur de l'exponentielle.
??

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 15:14

Tu as raison, il n'y a pas de g au dénominateur de l'exponentielle.
Je trouve :

3$ v(t)\;=\;\frac{4\pi R^3(\mu\,-\,\mu_0)g}{3k}\[1-\e^{-\,\frac{3k}{4\pi R^3\mu}\,t}\]

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 15:22

ok on a les mêmes résultats.
Pour la vitesse limite je trouve:
4$v_{lim}=\frac{4\pi R^3(\mu-\m_0)g}{3k} en majorant 4$1-exp^{-\frac{3k}{4\pi R^3\mu}t}=1-\frac{1}{exp^{\frac{3k}{4\pi R^3\mu}t} par 1

C'est bon ?

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 15:27

Oui, c'est ça la vitesse limite.

Autre méthode : tu retournes à l'équation de départ et tu dis :
la vitesse limite est uniforme, donc l'accélération est nulle.
Et en écrivant dans l'équation initiale que a = 0 tu retrouves cette valeur !

Posté par
moctarre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 15:30

Ok merci beaucoup Coll

Posté par
Coll Moderateurre : Mouvement dans un champ uniforme 12-10-07 à 15:38

Je t'en prie.
A une prochaine fois !


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2024

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 237 fiches de physique

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !