j'ai oubliée de preciser que x_c et y_c doivent être expimés en fonction de v₀ et

Bonjour.

Notons l'accélération.

m=qB
=qB(-v_xy+v_yx)
D'où le système :
dVx/dt = Vy
dVy/dt= -Vx

On a un système couplé, qu'on résout par exemple en posant u=x+iy.

Normalement tu en déduis la vitesse, et donc les coordonnées. Que trouves-tu ?

Mais ça c'est pour les coordonnées de la particules non ? Parce que j'ai deja résolut une équation pour trouver v_x et v_y
j'ai v_x=v₀(qt+1)
v_y= v₀(-qt+1)

d'où x= v₀(qt²/2 +t)
y=x= v₀(-qt²/2 +t)

mais la particule ne passe pas par le centre de la trajectoire donc cela ne me donne pas les coordonnées du centre

T'es sûr de tes coordonnées là ? On devrait trouver du cosinus et du sinus si on parle de cercle...

Notons X la coordonnée de la vitesse selon x, et Y la coordonnée de la vitesse selon Y.

D'après ce qui précède :

dX/dt=wY
dY=-wX

Posons u=X+iY

Alors u'=X'+iY'=wY-iwX

Donc u'+iwu=0
D'où u(t)=Kexp(-iwt)
Or u(0)=K=X(0)+iY(0)=V0, d'où u(t)=V0exp(-iwt)

u(t)=V0cos(wt) - iV0sin(wt)

En identifiant :
Vx=V0cos(wt)
Vy=V0sin(wt)

Donc en intégrant :
x=(V0/w)sin(wt) + C1
y=-(V0/w)cos(wt) + C2

C1 et C2 sont telles que :
x(0)=x0=C1
y(0)=y0=-V0/w + C2

Donc :

x=(V0/w)sin(wt)+x0
y=-(V0/w)cos(wt) + y0 + V0/w
y=y0 + (V0/w)(1-cos(wt))

Donc :

x-x0=V0/w sin(wt)
y-y0-V0/w=-V0cos(wt)

Le rayon est donc bien de V0/w=V0m/qB
Et le centre est donc de coordonnées (x0,y0+V0/w)

D'accord merci beaucoup ! Mais du coup je me demande ce qui cloche dans ce que j'avais fait ..
j'avais utilisé la décomposition de la vitesse et un PFD avec dv_x/dt + dv_y/dt=qv_[sub][/sub]B ca n'est pas bon ?

Eh bien si c'est bon, mais ensuite lorsque l'on projette selon les coordonnées x et y, on a des équations couplées, c'est-à-dire que la dérivée de Vx est exprimée en fonction de Vy, et la dérivée de Vy est exprimée en fonction de Vx.

Vu que tu ne nous as donné que les résultats et non pas le raisonnement que tu as fait, alors je peux difficilement te dire où est l'erreur. Il est probable que tu te sois trompé dans la résolution de de système couplé.

Pour résoudre un système couplé, je connais 3 méthodes faciles (il y en a probablement d'autres)

1) On pose u=x+iy, et on en déduit une équation différentielle vérifiée par u, puis on en déduit x et y par identification de partie réelle et partie imaginaire (ce que j'ai fait plus haut)

2) On dérive l'une des équations par exemple ici : d²Vx/dt²=wdVy/dt=-w²Vx ce qui fait une équation différentielle qui n'est plus couplée mais en contre-partie elle est d'ordre 2. Cela se résout facilement.

3) On remplace Vx par dx/dt, idem pour Vy ce qui fait : d²x/dt² = wdy/dt et d²y/dt²=-wdx/dt
On intègre par exemple la première : dx/dt = wy + C
Or dx/dt = -d²y/dt² / w, d'où : -(d²y/dt²)/w = wy + C et on a encore une équation du second ordre en contrepartie d'un système découplé.

D'accord j'ai compris j'utilisais une "astuce" donnée en classe pour la nature du mouvement mais ne permettant pas de donner l'équation!  
Merci beaucoup pour cet aide !