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Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable

Posté par
Didoune 08-11-09 à 18:41

Bonjour !

Je m'appelle Elodie, je suis en prépa post-DUT du concours C. Je débute en dynamique des systèmes à masse variable, et là, j'ai vraiment du mal, j'espère que vous pourrez m'aider !
J'ai fait la première partie, pourriez-vous aussi jeter un coup d'oeil voir si je me suis trompée ?

Merci par avance.

Énoncé : Unne goutte d'eau sphérique, de masse m0, de rayon r0,tombe en chute libre, sans vitesse initiale

1) La résistance de l'air est f= -a.m0.v (a = cste supposée indépendante de la masse de la goutte)
a) Quelle est la vitesse vL limite de la goutte d'eau ?
Avec le principe fondamental de la dynamique, je trouve : dv/dt = -a.v + g (I)
d'où : -a.vL + g = 0 <=> vL= g/a

b) Ecrire la loi de variation de la vitesse v en fonction du temps
On remarque que I est une équation différentielle du premier degrés, d'où :
v(t) = (g/a).(1-e-at)

c) A quel instant T la goutte acquiert sa vitesse limite avec une précision de un pour mille ? (A.N : g=10m/s ; a=40s-1
v(t) = 0,999.vL
Alors : 0,999.((g/a) = (g/a).(1-e-aT)
<=> T = ln(0,001)/-a = 0,17 s


Voilà, maintenant, je ne sais pas par où commencer :
2) A l'instant T, que l'on prend comme origine des temps, la goutte pénètre dans un nuage saturé de vapeur d'eau : de l'eau se condense sur la goutte dont le rayon croît linéairement avec le temps suivant la loi r=r0.(1+b.t), où b est une constante homogène à l'inverse du temps.
On négligera dans cette question la résistance de l'air

a) Montrer que le taux d'accroissement de masse (dm/dt) est proportionnel à la surface de la goutte sphérique.
b) Montrer que la vitesse de la goutte, à l'intérieur du nuage, obéit à l'équation différentielle :
dv/dt + 3.b. r0/r .v = g
c) En déduire l'expression de la vitesse de la goutte :
- en fonction du rayon r et des données Vl, b, r0, g;
- en fonction du temps et de vl, b, r0, g;
sachant que la vitesse d'entrée de la goutte dans le nuage est vL

Encore merci pour votre aide !
A très vite

Posté par
donaldosre : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 08-11-09 à 19:39

Écris que la masse de la goutte est proportionnelle à son volume.

Posté par
Didounere : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 08-11-09 à 21:02

Ok, merci, ça pas de problème, mais je ne sais pas comment l'écrire.

Pour les premières questions, qu'en penses-tu ?

Posté par
donaldosre : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 08-11-09 à 22:06

Les premières questions ont l'air correctes.

Concernant le volume de la goutte, ne connais-tu pas une formule permettant d'exprimer le volume d'une sphère en fonction de son rayon? Sa surface?

Posté par
J-Pre : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 09-11-09 à 18:49

Les réponses du début sont correctes par rapport aux données du problème.
Par contre ces mêmes données sont sujètes à caution.
(Cela amène par exemple la vitesse limite de chute d'une goutte d'eau dans l'air à 0,25 m/s (0,9 km/h), c'est ridicule).

Je n'ai rien contre de simplifier un problème par rapport à ce qui se passe vraiment (c'est normal), mais il reste à le faire pour qu'on arrive à des résultats pas trop éloignés de la réalité ...
---------
2)
a)

m(t) = Rho(eau) * V(t) (V est ici le volume de la goutte)

m(t) = Rho(eau) * (4/3).Pi.(r(t))³

dm/dt = Rho(eau) * (4/3).Pi.3.(r(t))².r'(t)

dm/dt = Rho(eau) * 4.Pi.(r(t))²*ro.b

dm/dt = Rho(eau) * ro.b * 4.Pi.(r(t))²

Or 4Pi.r² est l'aire intantanée de la goutte sphérique -->

Le taux d'accroissement de masse (dm/dt) est proportionnel à la surface de la goutte sphérique.
-----
b)

on a une masse m d'eau à l'altitude z et à vitesse v et on lui ajoute, à cette altitude, une masse élémentaire d'eau dm.

Energie mécanique: (1/2).mv² + mgz + gz.dm

et on obtient à l'altitude z+dz (dz est négatif) une masse d'eau (m+dm) à la vitesse (v+dv), soit une énerrgie mécanique :
(1/2).(m+dm)*(v+dv)² + (m+dm).g.(z+dz)

(1/2).mv² + mgz + gz.dm = (1/2).(m+dm)*(v+dv)² + (m+dm).g.(z+dz)

(1/2).mv² + mgz + gz.dm = (1/2).m*(v²+(dv)²+2v.dv) + (1/2).dm*(v²+(dv)²+2v.dv)  + m.g.(z-dz) + dm.g.(z+dz)

(1/2).mv² + mgz + gz.dm = (1/2).m*(v²+(dv)²+2v.dv) + (1/2).dm*(v²+(dv)²+2v.dv)  + m.g.z - m.g.dz + dm.g.z + dz.dg.gz

On néglige les infiniments petits du second ordre devant ceux du premier ordre et on a alors :

(1/2).mv² + mgz + gz.dm = (1/2).m*(v²+2v.dv) + (1/2).dm*v²  + m.g.z - m.g.dz + dm.g.z

gz.dm = m.v.dv + (1/2).dm*v² - m.g.dz + dm.g.z

gz.dm/dt = m.v.dv/dt + (v²/2).dm/dt - m.g.dz/dt + g.z.dm/dt

dz/dt = v -->

0 = m.v.dv/dt + (v²/2).dm/dt - m.g.v

m.v.dv/dt + (v²/2).dm/dt = m.g.v

dv/dt + (v/2).(1/m).dm/dt = g

m = Rho(eau) * (4/3)Pi.r³
dm/dt = Rho(eau) * ro.b * 4.Pi.r²

(1/m)*dm/dt = Rho(eau) * ro.b * 4.Pi.r²/(Rho(eau) * (4/3)Pi.r³)
(1/m)*dm/dt = 3.b.ro/r

dv/dt + (v/2).3.b.ro/r = g

Et zut, un (1/2) de différence entre ma réponse et celle de l'énoncé.

Tant pis.

Posté par
donaldosre : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 09-11-09 à 20:29

Oui tant pis si la réponse n'est pas bonne, ça n'est pas très important du moment que l'on se soit fait plaisir.

Espérons aussi que ce qui précède permettra à Élodie de ne pas se servir des indices que je lui ai donnés pour chercher la solution...

Puisque le mal est fait, pour la question 2)b) il suffisait d'appliquer le théorème de la quantité de mouvement:

\frac{{\rm d}\vec{p}}{{\rm d}t}=m\vec{g}

ce qui donnait

\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}v+m\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}=mg

De la question 2)a) on déduisait que \frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}=m3b\frac{r_0}{r} que l'on pouvait intégrer dans l'équation précédente. On simplifiait par m et c'était fini.

Posté par
Didounere : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 09-11-09 à 23:47

Ne t'inquiète pas Donaldos, j'avais évidemment cherché de mon côté !
Merci pour la correction, merci à vous deux en tout cas pour votre aide !

A très vite
Elodie

Posté par
DidouneHELP !! 11-11-09 à 14:18

En fait, j'avais fait une erreur dans mon raisonnement, je trouve juste, mais en faisant une erreur !
Sauf que je n'arrive pas à la corriger, je suis larguée pour la 2) a)...
La 2)b) ok.
Pour la 2)c), pourriez-vous me donner une correction pour v en fonction de r, voir si c'est bon ?

Merci par avance
Je tiens tout de même à préciser que je ne serai pas notée sur cet exercice, c'est du travail personnel sur des feuilles d'exercices pour lesquelles nous n'avons pas de correction !

Posté par
donaldosre : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 11-11-09 à 15:31

C'est déjà bien que tu trouves juste avec une erreur, la chance ça peut aider dans les concours...

Pour la 2)a), J-P t'a déjà donné la réponse.

On écrit que la masse d'une goutte d'eau est égale au produit de sa masse volumique \rho par son volume V.

Pour une sphère de rayon r, le volume est donné par V=\frac{4}{3} \pi r^3.

Par ailleurs, sa surface est donnée par S=4\pi r^2.(Ce sont des formules à connaître bien sûr.)

On a donc  m=\rho V =\frac{4}{3}\pi \rho r^3.

On te donne par ailleurs l'expression du rayon r en fonction de t.

Tu dois donc être en mesure de calculer \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t} et par suite :

\begin{array}{rcl}\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}&=&\rho 4\pi r^2 \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}\\&=&\rho S \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}\end{array}.

A ce stade tu as normalement déjà vérifié que \frac{{\rm d}r}{{\rm d}t} vaut une constante et l'on a donc le résultat demandé.

Au final, on trouve \frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}=\rho r_0b S

Au passage, on peut aussi remarquer que S=\frac 3 r V et comme m =\rho V, on a :

\frac{{\rm d}m}{{\rm d}t}=3mb \frac{r_0}{r}

expression utilisable directement dans la question qui suivait.

Posté par
donaldosre : Mouvement d'une goutte d'eau de masse variable 11-11-09 à 15:45

En ce qui concerne la question 2)c) on part du résultat de la question 2)b):

\frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}+3r_0b \frac{v}{r}=g

On te demande d'abord d'exprimer v en fonction de r. Il est donc judicieux de faire disparaître t de l'équation différentielle:

\begin{array}{rcl} \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}+3r_0b \frac{v}{r}&=&\frac{{\rm d}v}{{\rm d}r}.\frac{{\rm d}r}{{\rm d}t}+3r_0b \frac{v}{r}\\ &=&r_0b \frac{{\rm d}v}{{\rm d}r} +3r_0b \frac{v}{r} \end{array}

Et l'équation différentielle devient:

\frac{{\rm d}v}{{\rm d}r} +3 \frac{v}{r}=\frac{g}{r_0 b}

Je te laisse vérifier que cela s'écrit aussi:

\frac 1 {r^3} \frac{{\rm d}}{{\rm d}r} \left(vr^3^\right)=\frac{g}{r_0 b}

ce qui se résout assez facilement je pense (si je ne me suis pas trompé jusque-là...).


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