Niveau maths sup

Mouvement d'un disque

Posté par
zenitude 10-01-13 à 16:52

On définit un plan repère R(O;;;) orthonormé fixe.
Dans le plan (O;;) un disque de rayon a, de diamètre OC, tourne à la vitesse angulaire constante autour de l'axe (O;). On lie à son centre O₁ le repère R₁ (0;X₁;Y₁;), l'axe (O;X₁) étant dirigé suivant le vecteur OC. A l'instant initial C est sur l'axe (O;X). Un point P, initialement en C parcours la circonférence dans le sens positif à la vitesse angulaire constante . On repérera utilement la position de ce point en utilisant le repere R₂(0₁;X₂;Y₂;) défini tel que (O₁;X₂) soit colinéaire au vecteur O₁P

Je cherche à déterminer le vecteur vitesse du point O₁ puis le vecteur accélération du point dans son mouvement par rapport au repère R₁.
Ensuite je cherche le vecteur vitesse du point P et enfin le vecteur accélération dans son mouvement par rapport au repère R

Voila donc j'ai essayer de faire un schéma de la situation donc si j'ai bien compris on a dans le plan (o;i;j)
un cercle de centre O₁, de diamètre OC et de rayon a
un point P qui se balade sur la circonférence de ce cercle et a partir duquel on forme le repère 2
Et donc OC tourne a la vitesse et O₁P a la vitesse

Est ce que mon schéma à l'air cohérent ? et comment commencer à répondre aux questions
Merci de votre aide

Posté par re : Mouvement d'un disque 11-01-13 à 19:14

Bonsoir,

Il s'agit de problème de composition des vitesses.

Pour moi voici le schéma de la situation.
Je vais taper mon raisonnement à Partir de celui-ci.

Dans le repère R1 en coordonnées polaires

$\overrightarrow{V}_O_1=\frac{a}{2}\dot{\theta}\ \overrightarrow{Y}_1\\\\ \\ \\ \overrightarrow{a}_O_1=-\frac{a}{2}\dot{\theta}^2\ \overrightarrow{X}_1 \\$

$Mouvement d\'un disque$

Posté par re : Mouvement d'un disque 11-01-13 à 19:28

$\overrightarrow{V_{O1}}\begin{pmatrix}0\\\frac{a}{2}\dot{\theta }\\0\end{pmatrix}_{R1}\\\\ \\ \\ \overrightarrow{a_{O1}}\begin{pmatrix}-\frac{a}{2}\dot{\theta}^2\\0\\0\end{pmatrix}_{R1}$

Même raisonnement pour P mais dans R2 avec l'angle alpha

$\overrightarrow{V_P}\begin{pmatrix}0\\\frac{a}{2}\dot{\alpha }\\0\end{pmatrix}_{R2}\\\\ \\ \\ \overrightarrow{a_P}\begin{pmatrix}-\frac{a}{2}\dot{\alpha}^2\\0\\0\end{pmatrix}_{R2}$

Posté par re : Mouvement d'un disque 11-01-13 à 19:46

$\overrightarrow{V}_{P/R}= \overrightarrow{V}_{P/R_2} + \overrightarrow{V}_{O_1/R} + \overrightarrow{\Omega}_{R_2/R}\otimes\overrightarrow{O_1P}\\\\$

Il suffit de reprendre les matrices précédentes.
Attention au repère indiqué en bas de la matrice.

$\overrightarrow{V}_{P/R}= \overrightarrow{V}_{P/R_2} + \overrightarrow{V}_{O_1/R} + \overrightarrow{\Omega}_{R_2/R}\otimes\overrightarrow{O_1P}\\\\ \\ \overrightarrow{V}_{P/R_2}=\begin{pmatrix}0\\\frac{a}{2}\dot{\alpha}\\0\end{pmatrix}_{R_2}\\\\ \\ \overrightarrow{V}_{O_1/R} =\begin{pmatrix}0\\\frac{a}{2}\dot{\theta}\\0\end{pmatrix}_{R_1}\\\\ \\ \overrightarrow{\Omega}_{R_2/R}\otimes\overrightarrow{O_1P}=\begin{pmatrix}0\\0\\\dot{\alpha}+\dot{\theta} \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}\frac{a}{2}\\0\\0 \end{pmatrix}_{R_2}\\\\$

Posté par re : Mouvement d'un disque 11-01-13 à 19:52

Ensuite il ne faut oublier de convertir les coordonnées X1 et Y1 dans le repère X2,Y2.

J'obtiens la vitesse de V dans le repère R MAIS exprimé avec la base R2

$\overrightarrow{V}_{P/R}= \begin{pmatrix} \\ \frac{a}{2}\dot{\theta}sin\alpha\\ \\ a\dot{\alpha} +\frac{a}{2}\dot{\theta}(1+cos\alpha) \\ \\ \\ 0\end{pmatrix}_{R_2}$

Ensuite même méthode pour l'accélération, il faut prendre la loi de composition des accélération..

Posté par re : Mouvement d'un disque 12-01-13 à 11:21

Merci de l'aide je vais travailler dessus

Posté par re : Mouvement d'un disque 12-01-13 à 15:11

Pour la première partie du poste j'ai compris la technique.
Mais j'ai une petite question : le cercle de diamètre OC est de rayon a (donc diamètre 2a), alors pourquoi vous trouvez a/2 V_O1 et _O1 . Je pense que c'est juste "a" non ?

Posté par re : Mouvement d'un disque 14-01-13 à 19:06

Comment trouve t-on _R2/R1 ou _R1/R0 Cela me bloque pour la suite

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