Niveau licence

Mouvement circulaire uniforme

Posté par
bin11 09-02-11 à 21:48

Bonsoir tt le monde.
J'ai besoin d'aide pour résoudre cet exo.
Un mobile autoporteur M est assujetti à se déplacer sur une table horizontal Oxy,en restant à distance constante R du point O (il est relié par un fil inextensible).On le lance au temps t=0, alors qu'il est sur l'axe Ox avec une vitesse Vo parallèle à l'axe Oy:Vo=Voey .
1)Donner l'expression générale en coordonnées polaires du vecteurs positions.
2)En déduire les vecteurs vitesses et accélérations.
3)Montrer que le mouvement est circulaire uniforme.
A l'instant où le corps se trouve sur l'axe Ox,on coupe le fil qui le relie au point O.
4)Calculer la vitesse au moment où l'on coupe le fil.
4)Quelle serait la nature du mouvement aprés la coupure du fil?Pourquoi?

Merci d'avance.

Posté par re : Mouvement circulaire uniforme 10-02-11 à 16:13

Les questions 1) et 2) ont été traité dans un post niveau Lycée cette semaine. Montrer que le mouvement est circulaire uniforme ne devrait pas poser de problème si tu considères (par exemple) que TFQTSC (Toutes les forces qui travaillent sont conservatives). Quand à la dernière question, il faut se baser sur la notion de référentiel galiléen pour déduire la vitesse après coupure du fil.

Posté par re : Mouvement circulaire uniforme 10-02-11 à 16:21

Bonjour.

Q1) Vecteur-position
C'est la définition même des coordonnées polaires (cylindriques ramenées à 2 dimensions)
$\vec{OM}$ = r(t). $\vec{e_r}$ (t) = r. $\vec{e_r}$

avec les relations de passage :
x = r.cos()
y = r.sin()

Q2) Vitesse et accélération
$\vec{v}$ = $\frac{d(\vec{OM})}{dt}$ = d(r. $\vec{e_r}$ )/dt = dr/dt. $\vec{e_r}$ + r.d( $\vec{e_r}$ )/dt = dr/dt. $\vec{e_r}$ + r.d/dt. $\vec{e_\theta}$

(Je te laisse le soin de retrouver que d( $\vec{e_r}$ )/dt = d/dt. $\vec{e_\theta}$ )

Pour l'accélération, tu dérives donc $\vec{v}$ .

Je t'épargnes le calcul, ça fait :

$\vec{a}$ = [d²r/dt² - r.(d/dt)²]. $\vec{e_r}$ + [2.dr/dt.d/dt + r.d²/dt²]. $\vec{e_\theta}$

Et si tu es astucieux et de l'entraînement, tu pourras remarquer que [2.dr/dt.d/dt + r.d²/dt²] = (1/r).[d(r².d/dt)]

Donc que :
$\vec{a}$ = [d²r/dt² - r.(d/dt)²]. $\vec{e_r}$ + (1/r).[d(r².d/dt)]. $\vec{e_\theta}$

Q3) Mouvement circulaire uniforme
Il est circulaire, c'est évident... || $\vec{r}$ || = Constante = longueur du fil...

Puisque r = constante = R, alors dr/dt = 0 et d²r/dt² = 0 aussi.

Du coup, l'expression de la vitesse devient :
$\vec{v}$ = R.d/dt. $\vec{e_\theta}$

Et l'expression de l'accélération devient donc :
$\vec{a}$ = -R.(d/dt)²]. $\vec{e_r}$ + R.d²/dt². $\vec{e_\theta}$
On peut remarquer dans ce cas précis que :
$\vec{a}$ = -v²/R. $\vec{e_r}$ + dv/dt. $\vec{e_\theta}$
(qui te permet de retrouver les formules de Frenet...)

Or, si on applique la RFD au mobile autoporteur (donc sans frottements)
$\vec{P}$ + $\vec{R_N}$ + $\vec{T}$ = m. $\vec{a}$

Comme le poids est compensé par la réaction normale du support, $\vec{P}$ + $\vec{R_N}$ = $\vec{0}$

Du coup, la RFD devient :
$\vec{T}$ = m. $\vec{a}$
-T. $\vec{e_r}$ = m. $\vec{a}$

On en déduit que l'accélération est donc dirigée selon $\vec{e_r}$ et que par conséquent, le terme dv/dt. $\vec{e_\theta}$ de l'accélération est donc nul !
<=> dv/dt = 0 <=> v = constante => Mouvement uniforme.

Du coup, on a bien montré qu'on a affaire à un MCU !

Q4) v quand on coupe le fil...
Puisque v = constante, alors, v(coupure) = v₀

Q5) Fil coupé, nature de la trajectoire...
Puisqu'il n'y a plus de tension du fil, le mobile n'est soumis qu'à deux forces $\vec{P}$ et $\vec{R_N}$ qui se compensent. (Principe d'inertie)
Donc la vitesse est toujours constante = v(coupure) = v₀

Le mobile est donc désormais en MRU !