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Mouvement circulaire non-uniforme

Posté par
bosonattentif 11-07-19 à 11:09

Bonjour! Je refais actuellement des exercices de mécanique dans le but d'animer des ateliers d'été de remédiation pour des étudiants de 1ère année de fac en physique, et je bûche sur un exercice (probablement très basique, mais comme cela fait longtemps que je n'ai plus fait de mécanique classique, je suis un peu perdue) sur un mouvement circulaire non-uniforme. Voici l'énoncé:
Le module de la vitesse d'une automobile roulant sur une piste circulaire de rayon 50m augmente uniformément dans le temps. Lorsque l'automobile se trouve à l'est du centre, le module de son accélération totale est de 10 m/s², à 37^o ouest par rapport au nord .

Une première sous-question demande de calculer l'accélération normale et tangentielle, ce que je fais par projection vectorielle. Cela me donne a_n=6 m/s² et a_t=8 m/s².

C'est la 2e sous-question qui pose problème. Je dois déterminer combien de temps il faudrait pour que la voiture revienne au même point. Je sais que je dois trouver une valeur numérique de 7 s à priori.
J'ai essayé de résoudre cela en obtenant une expression de la position de la voiture en fonction du temps, de la vitesse initiale au niveau de "l'est du centre" (que je calcule à partir de l'accélération normale a_n = v²/R) et du module de l'accélération, par intégration de l'expression de la vitesse qui augmente uniformément.
Mais en résolvant pour le temps, je ne trouve pas la bonne valeur.

Si quelqu'un pouvait m'apporter une aide, ou une autre piste de réflexion, cela me rassurerait beaucoup. La solution est certainement toute bête, mais quand on est engagé dans une certaine voie, il est parfois difficile de voir d'autres moyens Il y a peut-être d'autres données du problème que je n'ai pas exploitées.

Merci!

Posté par re : Mouvement circulaire non-uniforme 11-07-19 à 11:19

Bonjour
Les relations entre abscisses, vitesse et accélération valides pour un mouvement rectiligne uniformément varié se transpose aux valeurs angulaires pour un mouvement circulaire uniformément varié ; je te rappelle les trois formules de base :
mouvement rectiligne :

$v=a.t+v_{o} \\ \\ x=\frac{1}{2}a.t^{2}+v_{o}.t+x_{o} \\ \\ v^{2}-v_{o}^{2}=2a.\left(x-x_{o}\right)$

Mouvement circulaire :

$\dot{\theta}=\ddot{\theta}.t+\dot{\theta_{o}} \\ \\ \theta=\frac{1}{2}\ddot{\theta}.t^{2}+\dot{\theta}_{o}.t+\theta_{o} \\ \\ \dot{\theta}^{2}-\dot{\theta}_{o}^{2}=2\ddot{\theta}.\left(\theta-\theta_{o}\right)$

Posté par re : Mouvement circulaire non-uniforme 11-07-19 à 11:33

Merci de votre réponse! C'est en effet l'expression (pour theta) que j'ai utilisée. Comme je veux que la voiture revienne au même point, je me suis dit (logiquement?) que $\theta - \theta_{0}=0$ . Pour $\dot{\theta}$ , je remplace par la valeur trouvée, comme je le disais, grâce à l'accélération normale.

Je me trompe sûrement?