Niveau licence

mouvement circulaire et parabolique

Posté par
gnaaar 17-12-17 à 15:06

Bonjour,

je bloque sur cet exercice de physique, j'ai essaye de le faire mais je ne trouve pas ou bien je ne suis pas sur de certains resultas si vous pouviez m'aidez notament pour les questions 7 et 8.

enoncé: ( on prend comme origine du repère le sol)
On se trouve `a la surface de la Terre. Une petite balle est attach´ee
`a une roue, sa position initiale est x0 = 3m et z0 = 6m. Le centre
de la roue est xc = 0 m et zc = 6 m. A l?instant ` t0 = 0 la roue
commence `a tourner dans le sens antihoraire `a une vitesse angulaire
constante ?0 = 5rad/s. A l?instant ` t1 = 5s la balle se detache et
continue son mouvement `a la position et `a la vitesse qu?elle avait `a
l?instant t1. A l?instant ` t2 la balle touche le sol (z = 0) et s?arrete.
g = 9, 81ms?2
1. Quel type de mouvement d´ecrit le corps pour 0 ? t ? t1 ?
2. Combien de tours complets la balle a t-elle effectuee avant de se detacher ?
3. Calculer la position (x, z) `a l?instant t1.
4. Calculer la vitesse (vx, vz) `a l?instant t1.
5. Ecrire les ´equations de la dynamique pour ´ t1 ? t ? t2
6. Ecrire les lois horaires ´ x(t) et z(t) apr`es le d´etachement t1 ? t ? t2 de la balle et dessiner leur
allure.
7. Calculer l?instant t2.
8. Calculer la position (x, z) `a laquelle la balle s?arrete.

pour le moment je trouve que:

1) le corps décrit un mouvement circulaire uniforme.

2) on sait que la vitesse angulaire w = nombre de tour * 2pi. donc w/2pi= nombre de tour. on multiplie le resultats par (t1=5s) et on obtient 3,9 tours.

3) on ecrit les equation horaires x(t)= R cos(w*t)+xc et z(t)=Rsin(w*t)+zc on deduit de l'enoncé que R=x0=3m

x(t)=3*cos(5*5)+0 = 2,97 environ 3 m et z(t)=3*sin(5*5)+6= 5,6m

4) on derive la position pour trouver la vitesse : Vx(t)=Dx/Dt= -wRsin(w*t) et Vz(t)=Dz/Dt=wRcos(w*t)
Vx(t)=1,98m/s Vz(t)=14,8m/s

5)on ecrit que la somme des forces exterieur est egale a ma. le corps est uniquement soumis a son poid dont ma=mg on en deduit que les vecteurs g=a et que a=-g.

6)   on ecrit dde nouveau les equations horaires:
Ax=0   et    Az=-g

Vx=Vox*cos    et     Vz=-gt+Voz*sin

X=Vox*cos*t      et    Z=-1/2*gt^2+Voz*sin*t+Z1

mais je n'arrive pas a savoir quel angle mettre pour cos et sin.

désolé pour ce long post et merci d'avance

Posté par re : mouvement circulaire et parabolique 17-12-17 à 20:12

la 5 est fausse elle aussi je pense

Posté par re : mouvement circulaire et parabolique 18-12-17 à 10:31

Hello

Citation :
mais je n'arrive pas a savoir quel angle mettre pour cos et sin.

Je crois qu'il faut commencer par mettre un peu d'ordre dans tes résultats

1) jusqu'à l'instant t₁ le mouvement est circulaire uniforme

2) l'angle balayé par la balle entre t=0 et t=t₁ est:

$\theta_1 = \omega.t_1 = 25 rad$

$\frac{25}{2\pi} \approx 3,98$ la balle a donc effectué 3 tours complets

3) 4) entre t=0 et t=t₁ (on appelle C le centre de la roue et M le centre de la balle)

$\vec{OM} = x(t)\vec{i}+z(t)\vec{k}$
$\vec{v}(M) = \frac{d\vec{OM}}{dt} =\dot{x}(t)\vec{i}+\dot{z}(t)\vec{k}$

avec

$x(t) = x_C + Rcos\omega t$
$z(t) = z_C + Rsin\omega t$

Donc la vitesse de la balle est:

$\dot{x}(t) = -\omega Rsin\omega t$
$\dot{z}(t) = +\omega Rcos\omega t$

Tu fais le choix d'introduire V₀ comme étant: $V_0 = \omega R$

Donc pour t = t₁ ( $\omega t_1 = \theta_1$ )

$x_1 = x_C + Rcos\theta_1$
$z_1 = z_C + Rsin\theta_1$

Donc la vitesse de la balle est:

$v_{x,1} = -V_0sin\theta_1$
$v_{z,1} = V_0cos\theta_1$

Donc $\widehat{Ox,\vec{v_1}} = \theta_1 + \frac{\pi}{2}$   c'est l'angle dont tu vas utiliser les cosinus et sinus dans la détermination de la loi horaire pour la 2nde phase du mouvement ...

5)   $\vec{a} = \vec{g}$

Donc en supposant Oz orienté vers le "haut" et g l'intensité de la pesanteur, la valeur algébrique de l'accélération est bien:   $a = -g$

6)

$\ddot{x}(t) = 0$
$\ddot{z}(t) = -g$

$\dot{x}(t) = cste = v_{1,x} = -V_0sin\theta_1$

$\dot{z}(t) = -g(t-t_1) +v_{1,z} = -g(t-t_1) + V_0cos\theta_1$

ATTENTION: si on ne choisit de "remettre à zéro le chronomètre" il faut bien conserver la différence t-t₁

Et donc pour $t \ge t_1$

$x(t) = -V_0sin\theta_1(t-t_1) + x_1$
$z(t) = -\frac{1}{2}g(t-t_1)^2 + V_0cos\theta_1(t-t_1) + z_1$

8) l'instant t₂ correspond à $z(t_2) = 0$

Tu as donc une équation du 2nd degré à résoudre

Te voici remis en selle?

Posté par re : mouvement circulaire et parabolique 18-12-17 à 17:13

merci j'avais oublie de mettre t-t1 maiss je ne vois toujour pas quelle est la valeur de l'angle a t1, on ecrit w*t1, 25 radians?

Posté par re : mouvement circulaire et parabolique 18-12-17 à 18:06

"maiss je ne vois toujour pas quelle est la valeur de l'angle a t1"

Il te faut des lunettes alors ...

à t1 l'angle que fait $\vec{OM}$ avec $Ox$ est $\theta_1 = 25 rad$ et l'angle que fait $\vec{v}_1$ avec $Ox$ est $\theta_1+frac{pi}{2}$

Maintenant si tu ne trouves pas cela esthétique et préfères conserver une valeur d'angle dans l'intervalle [-\pi,\pi] par exemple:

$\widehat{Ox,\vec{OM}} \approx -0,13 rad$

$\widehat{Ox,\vec{v}_1} \approx 1,44 rad$

rien ne t'empêche de donner un nom à ces angles pour les utiliser par la suite dans les expression littérales

Posté par re : mouvement circulaire et parabolique 18-12-17 à 19:34

j'utilise 0=25rad


  pour les equations horaires,  j'ecrit que x(t)=Vosin0*(t-t1)+x1           avec t>=t1
                                                              z(t)=-1/2*g*(t-t1)^2+Vocos0(t-t1)+z1

je dis qu'a t2  z(t2)=0      donc que -1/2*g*(t-t1)^2+Vocos0(t-t1)+Z1=0

c'est une equation du second degré alors on calcule le delta:

(V1z)^2-4*-1/2*g*Z1     ======        (V1z)^2  +2*g*Z1

la premiere solution est :            - b-racine delta /2*a                     avec b= V1z         et a = -1/2*g     on obtient 3,35 s
la deuxieme solution est :            -b+ racine/2*a                                  on obtient -0,034 s

le premiere reponse est la seule physiquement correcte donc t2=3,35+t1    = 3,35+5=8,35

on calcule x(t2)=19,7m    , la position (x,z) a laquelle la balle s'arrete est (19,7;0).

Posté par re : mouvement circulaire et parabolique 19-12-17 à 09:47

Je suppose que le "0" de ton égalité  "0=25 rad" désigne le   $\theta_1$ de mes expressions littérales

Petite coquille:   $x(t)=v_0sin0*(t-t1)+x1$ est en fait

x(t)= -Vosin0*(t-t1)+x1

Sinon:

OK pour $t_2 = t_1 +\frac{1}{g}(v_0cos\theta_1+\sqrt{v_0^2cos^2\theta_1+2gz_1})$

Par contre, numériquement je trouve (ma calculette!)   $t_2 = 8,37 s$   et non pas 8,35

Enfin   $x_2 = -v_0sin\theta_1(t_2-t_1) + x_1$

Donc numériquement:

$x_2 = -5\times 3\times sin(25)\times (8,37-5) + 3\times cos(25) \approx 9,66  m$

Ce qui est assez éloigné des 19,7m que tu affiches...