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Mouvement Brownien
Bonjour,
Dans le cadre d'un travail informatique de physique statistique, je traite du problème du mouvement brownien... et j'aurais quelques questions quant à l'interprétation des résultats.
On considère le problème classique du marcheur bidimensionnel, qui peut avancer de T pas de manière équiprobable vers chacun des 4 points cardinaux. On recommence N fois cette expérience. J'ai tracé la moyenne du carré de la distance en fonction de T pour N itérations : vous pouvez trouver ce graphe en annexe.
Pour N = 1000, j'obtiens quasiment une droite : <D²> ≈ T.
Comment peut-on alors déterminer le coefficient de diffusion D ?
Je vous remercie par avance pour les éclaircissements que vous pourrez m'apporter.
Bonjour
Attention, il n'est pas astucieux de donner à la lettre "D" deux significations différentes...
Selon wikipédia, pour un mouvement aléatoire à deux dimensions, si on note L la distance de la particule à sa position initiale (origine O du repère par exemple), le carré de la valeur quadratique moyenne est proportionnelle au temps. A la date t :
où D est le coefficient de diffusion.
Bonjour, je vous remercie pour cette précision !
La notation provient de l'enseignant qui nous a fourni le devoir, où il est écrit, à deux lignes d'intervalle : "On note D = sqrt(x²+y²) la distance à l'origine [...] En déduire le coefficient de diffusion D du marcheur"
... D'où ma confusion...
Étant encore un peu dans le flou, j'aurais quelques questions :
1) Sachant que T correspond dans notre cas au nombre de pas et non au temps t, la formule s'applique toujours ?
2) Un peu plus loin, on nous propose de tracer le "Mean Square Displacement" (MSD) en fonction du temps de 'lag' τ, tel que :
MSD(τ) = < [X(t+τ) - X(t)]² + [Y(t+τ) - Y(t)]² >
On nous demande alors si la relation d'Einstein est vérifiée ou non.
=> Par commodité, je vais reprendre votre notation avec L. Je ne saisis pas bien la différence d'interprétation entre <L²>(T) et MSD(τ), car je serais tenté de dire que :
<L²> = 4DT (ou bien t à la place de T, selon votre réponse à la question 1)
et
MSD(τ) = 4Dτ
Le coefficient directeur serait donc identique pour chacun des deux cas ?
Je vous remercie pour vos réponses.
Il ne s'agit pas de tracer les mêmes courbes. La durée entre deux changements successifs de positions étant fixe, le temps est proportionnel à N. Tu peux donc tracer <L2> en fonction de N. Pour les valeurs de N élevées, la loi devrait être vérifiée.
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