Dans le cas général :


vo prend la valeur particulière v3 si Q(uo)=0, ce qui conduit à :





Attention : un discriminent nul de Q(u) signifierait deux racines égales de Q(u) soit u1=u2 avec tes notations. Or, on veut u1=uo, sachant que u2 est alors une valeur inférieure à -1 donc sans signification physique.

Merci Vanoise.
tu as répond au question

1-mais quand même je veut partager le traitement que je fais pour corriger les fautes car je n'obtiens pas les même résultats

moi je fait





les solution sont :






puis je fais :
je déduis qu'il est absurde (on troue un racine carré négatif car )

  me donne si je ne trompe pas dans les calculs



ce qui est évident qu'il est incorrect



2- par comparaison avec le pendule conique :


la loi qui couverne le mouvement d'un pendule conique est :



je pense que par analogie avec notre exercice que



et par suite :





ce qui donne v^2=\dfrac{g.R.sin^2(\theta}{\cos(\theta}

résultat confondu avec celle trouvé dans votre message précédent

ce qui donne

résultat confondu avec celle trouvé dans votre message précédent

Parfait !
Maintenant il faut bien comprendre pourquoi l'existence d'une racine double à P(u) conduit à un mouvement circulaire uniforme dans un plan horizontal puis étudier qualitativement le cas vo>v3.

Bonsoir Vanoise.
pour la question vraiment je ne sais pas
mais il me semble que :
-pour un mouvement horizontal, il faut que \theta(t) soit constante
-pour un mouvement uniforme, il faut que = constante

si   :
on a donc est constante

or est une constante de mouvement (selon la 1ère question).
donc est constante

mais pour:

Je trouve un peu plus logique de traiter d'abord le cas général puis de revenir au cas particulier du mouvement plan circulaire uniforme.
Il faut commencer par remarquer que P(u)=0 correspond à d/dt=0 conc à un extrémum de . Dans le cas v3>vo, présente deux extremums : arccos(u_o)=_o et arccos(u₁)=₁>_o car u1<u0 (voir courbes de mon message du   18-11-23 à 20:01). De plus, d/dt (expression déjà démontrée) varie faiblement en fonction de t mais ne change pas de signe. Conséquence : le mobile tourne donc autour de l'axe (Oz) sans changer de sens de rotation avec une altitude qui oscille entre celle correspondant à _o et celle correspondant à ₁.
Le cas limite vo=v3 correspond à une racine double de P(u) : u₁=u_o : la valeur maximale de et la valeur minimale sont confondue : = _o t. L'altitude du mobile reste fixe ; on retrouve la situation du pendule conique.
Je te laisse réfléchir à tout cela. Pour t'aider à mieux comprendre, voici quelques courbes à analyser qui correspondent au cas vo=1,5v3 avec R=1m et _o60°. On voit que oscille entre 60° et 85°. Le lien fournit en .pdf permet d'accéder à une petite animation en 3D.






PDF - 9 Ko

Merci beaucoup Vanoise.
je ne comprend pas au début que le mouvement est oscillatoire
car un tel mouvement necessite une force de rappel, mais quand je vois l'animation je comprend la nature de mouvement.
j'ai deux question pour bien comprendre:
dans le cas et
1- est ce qu'on peut considérer que le mouvement  est périodique
2- est ce qu'on peut calculer en fonction de t:
c-à-d est ce q'on peut faire :



avec    
donc



ce  qui donne :

Deux mots d'abord sur ta méthode de détermination de la racine positive de Q(u) présentée le 19-11-23 à 19:56. Ta méthode est correcte mais il y a maladresse de calcul. On obtient heureusement le même résultat que par la méthode que j'ai développée le 18-11-23 à 21:51 mais en 6 lignes de calculs au lieu de 2 !
Concernant ton dernier message : on constate que les variations de en fonction de t sont périodiques, ce qui est assez facile à justifier qualitativement à partir de la conservation de l'énergie mécanique en remarquant qu'une augmentation de vitesse tend à faire monter le mobile le long de la coque alors qu'une diminution de vitesse tend à le faire descendre. On ne peut pas parler pour autant de mouvement périodique : entre deux positions hautes successives (ou entre deux positions basses successives), n'augmente pas exactement de 2 rad. Les positions hautes ne correspondent donc pas à un point fixe sur la coque sphérique, de même que les positions basses. Cela apparaît bien sur la simulation numérique.
La méthode que tu développes à la fin de ton dernier message est utilisée pour déterminer la période d'un pendule de grande amplitude. Elle peut être utilisée ici à condition de faire attention aux signe de (d/dt) qui change périodiquement. Cependant, comme pour le pendule et en plus compliqué encore, il n'existe pas d'intégration simple. Il faut avoir recours à une intégration numérique. Personnellement, pour la simulation que j'ai faite, je suis parti de l'équation différentielle du second ordre obtenue en projetant la relation fondamentale de la dynamique suivant et en remplaçant par son expression obtenue le 16-11-23 à 20:13. Bien sûr, cette équation différentielle n'admet pas de solution explicite et doit être intégrée numériquement.

Merci Vanoise pour la correction et l'explication

Est ce qu'on peut déterminer de quoi t il varier entre deux positions hautes successives  de

Uniquement par simulation numérique. Les résultats de cette simulation ont conduit aux courbes déjà fournies. Graphiquement tu peux déterminer la période de variation de à l'aide de la courbe verte. Tu peux alors évaluer sur la courbe bleue l'augmentation de en une période de . Ces valeurs dépendent des valeurs de _o et de v_o, valeurs que j'ai choisies arbitrairement.

Merci beaucoup Vanoise.

encore une dernière question pour terminer ce sujet

si quel est la nature de mouvement

je m'excuse

Réponse qualitative : pour v_o inférieure à la vitesse permettant le mouvement circulaire horizontal, le mobile commence par descendre à l'intérieur de la coque. Conservation de l'énergie mécanique : sa vitesse augmente, ce qui le fait remonter mais alors sa vitesse diminue et ainsi de suite. La valeur de va ainsi varier périodiquement entre la valeur _o et une valeur ₁ < _o.
Réponse quantitative : reprendre l'allure des courbes P(u) du  18-11-23 à 20:01. Pour vo<v3, les racines utiles de P(u) sont uo et u1>uo. Cela conduit à ₁ < _o puisque la fonction cosinus est décroissante sur l'intervalle [0,90°].
Voir ci-dessous une simulation pour vo=0,75v3

Merci Vanoise.

l'angle compléte toujours 2

est ce qu'il y a une valeur v_min de v tel que pour toute v<v_min on n'a pas de rotation mais seulement oscillation

je m'excuse
l'angle   complète toujours 2

Rappel dans le cas général : _o strictement positif et inférieur à 90°. On a montré :

Pour avoir à chaque instant et quel que soit , il faut nécessairement v_o=0. L'étude est alors celle d'un pendule simple d'amplitude angulaire _o.

Merci beaucoup Vanoise.
moi je fais la comparaison entre notre cas et le pendule conique qui nécessite une vitesse minimale pour que le mouvement circulaire établi.

La théorie classique du pendule conique suppose une vitesse angulaire d/dt fixe imposée par un moteur extérieur au pendule, ce qui n'est pas le cas ici.

c'est clair maintenant.
L'exercice  est très compliqué, mais j'arrive à le résoudre grâce à votre aide et comprendre les grand difficultés de mouvement circulaire horizontal.

Merci beaucoup mon professeur.