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Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 18-11-23 à 21:00

si on pose Q(u_0)=0 et résoudre l'équation obtenu en v_0

on arrive à rien. les terme qui contient V_0 s'annule par addition des opposé
on trouve seulement u_0=1

donc je pense qu'on doit passer par le descréminat. trouvé les solution de Q(u)  puis résoudre l'équation :
solution = u_0 avec l'inconnue est v_0

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 18-11-23 à 21:51

Dans le cas général :

 \\ \frac{Q(u)}{R^{2}}=v_{o}^{2}.\left(u+u_{o}\right)-2g.R.\left(1-u^{2}\right)

vo prend la valeur particulière v3 si Q(uo)=0, ce qui conduit à :

2u_{o}.v_{3}^{2}-2g.R.\left(1-u_{o}^{2}\right)=0

v_{3}^{2}=\dfrac{g.R.\sin^{2}\left(\theta_{o}\right)}{\cos\left(\theta_{o}\right)}

Attention : un discriminent nul de Q(u) signifierait deux racines égales de Q(u) soit u1=u2 avec tes notations. Or, on veut u1=uo, sachant que u2 est alors une valeur inférieure à -1 donc sans signification physique.

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 19-11-23 à 19:56

Merci Vanoise.
tu as répond au question

1-mais quand même je veut partager le traitement que je fais pour corriger les fautes car je n'obtiens pas les même résultats

moi je fait

R^2Q(u)=2.g.R.u^2+V_0^2.u+2.g.R-v_0^2.u_0


 \\ \Delta=v_0^4-8.g.R(2.g.R-v_0^2.u_0)

les solution sont :

u_1=\dfrac{-v_0^2-\sqrt{\Delta}}{2.g.R}


u_2=\dfrac{-v_0^2+\sqrt{\Delta}}{2.g.R}

puis je fais :
u_1=u_0 je déduis qu'il est absurde (on troue un racine carré négatif car u_0>0)

u_2=u_0  me donne si je ne trompe pas dans les calculs

v_0^2=\dfrac{2.g.R.(u_0+4)}{5.u_0}

ce qui est évident qu'il est incorrect



2- par comparaison avec le pendule conique :


la loi qui couverne le mouvement d'un pendule conique est :

\omega^2=\dfrac{g}{R.cos(\theta)}

je pense que par analogie avec notre exercice que

\omega=\dfrac{v}{R.sin(\theta)}

et par suite :


\dfrac{v^2}{R^2.sin^2(\theta)}=\dfrac{g}{R.cos(\theta)}


ce qui donne v^2=\dfrac{g.R.sin^2(\theta}{\cos(\theta}

résultat confondu avec celle trouvé dans votre message précédent

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 19-11-23 à 19:57

ce qui donne v^2=\dfrac{g.R.sin^2(\theta)}{\cos(\theta)}

résultat confondu avec celle trouvé dans votre message précédent

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 19-11-23 à 21:04

Parfait !
Maintenant il faut bien comprendre pourquoi l'existence d'une racine double à P(u) conduit à un mouvement circulaire uniforme dans un plan horizontal puis étudier qualitativement le cas vo>v3.

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 20-11-23 à 19:12

Bonsoir Vanoise.
pour la question vraiment je ne sais pas
mais il me semble que :
-pour un mouvement horizontal, il faut que \theta(t) soit constante
-pour un mouvement uniforme, il faut que \dot \varphi= constante

si  v_0= v_3 :
on a \dot \theta=0 donc \theta est constante

or sin^2(\theta).\dot \varphi est une constante de mouvement (selon la 1ère question).
donc \dot \varphi est constante

mais pour:

Citation :
pourquoi l'existence d'une racine double à P(u) conduit à un mouvement circulaire uniforme dans un plan horizontal
vraiment je ne sais pas pourquoi

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 20-11-23 à 19:45

Je trouve un peu plus logique de traiter d'abord le cas général puis de revenir au cas particulier du mouvement plan circulaire uniforme.
Il faut commencer par remarquer que P(u)=0 correspond à d/dt=0 conc à un extrémum de . Dans le cas v3>vo, présente deux extremums : arccos(uo)=o et arccos(u1)=1>o car u1<u0 (voir courbes de mon message du   18-11-23 à 20:01). De plus, d/dt (expression déjà démontrée) varie faiblement en fonction de t mais ne change pas de signe. Conséquence : le mobile tourne donc autour de l'axe (Oz) sans changer de sens de rotation avec une altitude qui oscille entre celle correspondant à o et celle correspondant à 1.
Le cas limite vo=v3 correspond à une racine double de P(u) : u1=uo : la valeur maximale de et la valeur minimale sont confondue : = o t. L'altitude du mobile reste fixe ; on retrouve la situation du pendule conique.
Je te laisse réfléchir à tout cela. Pour t'aider à mieux comprendre, voici quelques courbes à analyser qui correspondent au cas vo=1,5v3 avec R=1m et o60°. On voit que oscille entre 60° et 85°. Le lien fournit en .pdf permet d'accéder à une petite animation en 3D.

Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal

Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal

pdf
PDF - 9 Ko

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 21-11-23 à 19:40

Merci beaucoup Vanoise.
je ne comprend pas au début que le mouvement est oscillatoire
car un tel mouvement necessite une force de rappel, mais quand je vois l'animation je comprend la nature de mouvement.
j'ai deux question pour bien comprendre:
dans le cas et v_0>v_3
1- est ce qu'on peut considérer que le mouvement  est périodique
2- est ce qu'on peut calculer \theta(t) en fonction de t:
c-à-d est ce q'on peut faire :

\dot \theta=\dfrac{d \theta}{dt}=\sqrt{\dfrac{P(u)}{1-u^2}}

avec     \theta=arccos(u)
donc

  d \theta=\dfrac{-1}{\sqrt{1-u^2}}du

ce  qui donne :

dt =\dfrac{-1}{\sqrt{P(u)}}du

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 21-11-23 à 23:18

Deux mots d'abord sur ta méthode de détermination de la racine positive de Q(u) présentée le 19-11-23 à 19:56. Ta méthode est correcte mais il y a maladresse de calcul. On obtient heureusement le même résultat que par la méthode que j'ai développée le 18-11-23 à 21:51 mais en 6 lignes de calculs au lieu de 2 !
Concernant ton dernier message : on constate que les variations de en fonction de t sont périodiques, ce qui est assez facile à justifier qualitativement à partir de la conservation de l'énergie mécanique en remarquant qu'une augmentation de vitesse tend à faire monter le mobile le long de la coque alors qu'une diminution de vitesse tend à le faire descendre. On ne peut pas parler pour autant de mouvement périodique : entre deux positions hautes successives (ou entre deux positions basses successives), n'augmente pas exactement de 2 rad. Les positions hautes ne correspondent donc pas à un point fixe sur la coque sphérique, de même que les positions basses. Cela apparaît bien sur la simulation numérique.
La méthode que tu développes à la fin de ton dernier message est utilisée pour déterminer la période d'un pendule de grande amplitude. Elle peut être utilisée ici à condition de faire attention aux signe de (d/dt) qui change périodiquement. Cependant, comme pour le pendule et en plus compliqué encore, il n'existe pas d'intégration simple. Il faut avoir recours à une intégration numérique. Personnellement, pour la simulation que j'ai faite, je suis parti de l'équation différentielle du second ordre obtenue en projetant la relation fondamentale de la dynamique suivant \vec e_\theta et en remplaçant \dot\varphi par son expression obtenue le 16-11-23 à 20:13. Bien sûr, cette équation différentielle n'admet pas de solution explicite et doit être intégrée numériquement.

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 18:54

Merci Vanoise pour la correction et l'explication

Est ce qu'on peut déterminer de quoi t il varier \varphi entre deux positions hautes successives  de \theta

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 19:11

Uniquement par simulation numérique. Les résultats de cette simulation ont conduit aux courbes déjà fournies. Graphiquement tu peux déterminer la période de variation de à l'aide de la courbe verte. Tu peux alors évaluer sur la courbe bleue l'augmentation de en une période de . Ces valeurs dépendent des valeurs de o et de vo, valeurs que j'ai choisies arbitrairement.

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 19:17

Merci beaucoup Vanoise.

encore une dernière question pour terminer ce sujet

si v_0<v_0 quel est la nature de mouvement

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 19:20

je m'excuse

 \\ v_0<v_3

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 19:55

Réponse qualitative : pour vo inférieure à la vitesse permettant le mouvement circulaire horizontal, le mobile commence par descendre à l'intérieur de la coque. Conservation de l'énergie mécanique : sa vitesse augmente, ce qui le fait remonter mais alors sa vitesse diminue et ainsi de suite. La valeur de va ainsi varier périodiquement entre la valeur o et une valeur 1 < o.
Réponse quantitative : reprendre l'allure des courbes P(u) du  18-11-23 à 20:01. Pour vo<v3, les racines utiles de P(u) sont uo et u1>uo. Cela conduit à 1 < o puisque la fonction cosinus est décroissante sur l'intervalle [0,90°].
Voir ci-dessous une simulation pour vo=0,75v3

Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal

Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 20:12

Merci Vanoise.

l'angle compléte toujours 2

est ce qu'il y a une valeur vmin de v tel que pour toute v<vmin on n'a pas de rotation mais seulement oscillation

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 20:43

je m'excuse
l'angle  \varphi complète toujours 2

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 22-11-23 à 22:48

Rappel dans le cas général : o strictement positif et inférieur à 90°. On a montré :
\dot{\varphi}=\dfrac{v_{o}}{R}\cdot\dfrac{\sin\left(\theta_{o}\right)}{\sin^{2}\left(\theta\right)}
Pour avoir \dot \varphi = 0 à chaque instant et quel que soit , il faut nécessairement vo=0. L'étude est alors celle d'un pendule simple d'amplitude angulaire o.

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 23-11-23 à 20:06

Merci beaucoup Vanoise.
moi je fais la comparaison entre notre cas et le pendule conique qui nécessite une vitesse minimale pour que le mouvement circulaire établi.

Posté par
vanoise
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 23-11-23 à 20:46

La théorie classique du pendule conique suppose une vitesse angulaire d/dt fixe imposée par un moteur extérieur au pendule, ce qui n'est pas le cas ici.

Posté par
praf
re : Mouvement avec vitesse initial dans un plan horizontal 23-11-23 à 20:58

c'est clair maintenant.
L'exercice  est très compliqué, mais j'arrive à le résoudre grâce à votre aide et comprendre les grand difficultés de mouvement circulaire horizontal.

Merci beaucoup mon professeur.

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