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Mouvement à accélération centrale

Posté par
amage 12-03-20 à 19:52

Bonsoir !
Exercice : Un point matériel M soumis à une accélération centrale, se déplace dans le plan (xOy) en suivant la parabole d'équation cartésienne :
y = (x^2 - a^2)/2a
1) Établir l'équation polaire de la trajectoire de ce point matériel sous la forme r = r(thêta)
2) Montrer que le paramètre
C = (r^2d(thêta))/et est une constante du mouvement
3) Établir la deuxième loi de Binet et déduire l'expression de l'accélération de ce point matériel à l'aide de a, r et C.
Merci d'avance

Posté par
gbm Webmasterre : Mouvement à accélération centrale 12-03-20 à 20:22

Bonsoir,

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q01 - Que dois-je faire avant de poster une question ?

Posté par
diracre : Mouvement à accélération centrale 14-03-20 à 08:06

Hello

Le passage en coordonnées polaires, parfois piégeux, te "tend les bras" ici:

y = \frac{x^2 - a^2}{2a}  donc  a^2 + 2ay = x^2

Donc (a+y)^2 = x^2 + y^2

En coordonnées polaires:   r = \sqrt{x^2 + y^2}   et   y = rsin\theta

Donc a + rsin\theta = r   et finalement  r = \frac{a}{1-sin\theta}

Ouf on trouve bien l'équation canonique d'une parabole d'axe vertical

Te voila remis(e) sur orbite?

Posté par
diracre : Mouvement à accélération centrale 15-03-20 à 18:09

La 2eme question est un grand classique des colles. En application directe du cours, elle doit pouvoir se faire ... les yeux fermés

Le moment cinétique de M est:

\vec{l} = \vec{\rho} \wedge m\vec{v}  donc  \frac{d\vec{l}}{dt} = \frac{d\vec{\rho}}{dt} \wedge m\vec{v} + \vec{\rho} \wedge m\frac{\vec{v}}{dt}

Le premier terme est évidemment nul, le second l'est M est soumis à un accélération centrale par hypothèse.

Donc  \frac{d\vec{l}}{dt} = \vec{0}     (1)

Par ailleurs \vec{v} = \vec{v}_\rho + \vec{v}_\theta = \frac{d\rho}{dt}\vec{e}_\rho + \rho\frac{d\theta}{dt}\vec{e}_\theta

Donc \vec{l} = \vec{\rho} \wedge m\vec{v} = \vec{\rho} \wedge m\rho\frac{d\theta}{dt}\vec{e}_\theta = m\rho^2\frac{d\theta}{dt}\vec{e}_z    (2)


(1) et (2) conduisent bien à     \rho^2\frac{d\theta}{dt} = Cste

Pour la question 3) la pente s'élève un (tout) petit peu (2nde question de la colle), les "lois" de Binet visant à éliminer le paramètre temps dans les expressions de la vitesse et de l'accélération.
La "ruse" consiste à faire un changement de la variable \rho  en  \frac{1}{\rho} et à s'en souvenir toute sa vie ...

le    \frac{d\theta}{dt} = \frac{C}{\rho^2} nous y invitant très ostensiblement

Te voila reboosté(e)?

Posté par
diracre : Mouvement à accélération centrale 17-03-20 à 05:58

Bon, histoire de ne pas laisser ce post dans un état bancal ...

l'accélération est radiale et s'exprime en coordonnées polaires comme:

a_{\rho} = \frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho(\frac{d\theta}{dt})^2

Avec:  \frac{d\theta}{dt} = \frac{C}{\rho^2} comme vu plus haut

Reste à s'interesser à \frac{d^2\rho}{dt^2}:

\frac{d\rho}{dt} = \frac{d\rho}{d\theta}.\frac{d\theta}{dt}


Donc \frac{d\rho}{dt} = \frac{d\rho}{d\theta}.\frac{C}{\rho^2} = -C\frac{d(\rho^{-1})}{d\theta}

On continue

\frac{d^2\rho}{dt^2}= \frac{d}{d\theta}(\frac{d\rho}{dt}).\frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{d\theta}(\frac{d\rho}{dt}).\frac{C}{\rho^2} = -\frac{C^2}{\rho^2}\frac{d^2(\rho^{-1})}{d\theta^2}

On y est:

a_{\rho} = \frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho(\frac{d\theta}{dt})^2 = -\frac{C^2}{\rho^2}(\frac{d^2(\rho^{-1})}{d\theta^2} + \frac{1}{\rho})

Posté par
vanoisere : Mouvement à accélération centrale 17-03-20 à 09:05

Bonjour dirac
J'avoue ne plus rien comprendre au règlement de ce forum !
Ainsi un étudiant qui ne se manifeste pas, qui n'apporte aucune preuve de sa recherche personnelle, finit, avec un peu de patience, par obtenir le corrigé intégral et détaillé de son exercice ?
Cela me semble en contradiction avec le message de gbm du 12-03-20 à 20:22.

Posté par
gbm Webmasterre : Mouvement à accélération centrale 17-03-20 à 09:14

Bonjour vanoise,

Bon, l'heure n'est pas à la polémique, effectivement, on n'est pas censé fournir une solution complète en l'absence de recherche de l'étudiant ...

Désolé dirac, mais la prochaine fois je serai contraint de supprimer ta solution ...

Bonne journée et restons solidaires en ces heures pénibles ...

Posté par
gbm Webmasterre : Mouvement à accélération centrale 17-03-20 à 09:18

En complément de ma réponse précédente (c'est peut-être passé inaperçu), l'assouplissement temporaire des règles lié au COVID-19 n'autorise toujours pas à fournir une solution complète à un étudiant passif : [COVID-19] Assouplissements jusqu'à FIN JUIN

Posté par
vanoisere : Mouvement à accélération centrale 17-03-20 à 09:18

Bonjour gbm
Il s'agissait de ma part, juste d'une demande d'éclaircissement et tu as été très clair ! Merci !

Posté par
gbm Webmasterre : Mouvement à accélération centrale 17-03-20 à 09:29

Tu fais bien vanoise, tu fais bien. Surtout avec les mesures exceptionnelles que nous devons prendre sur le forum pour aider le corps enseignant à assurer la continuité pédagogique.

Je pense que dirac a été décontenancé par l'absence totale de retour d'amage et s'est senti contraint d'aller jusqu'au bout de sa logique.

Je vais adresser aux membres actifs un mail pour accompagner cet assouplissement temporaire.

Bonne journée à vous deux,

Posté par
diracre : Mouvement à accélération centrale 17-03-20 à 12:11

Hello

Les 2 drivers qui me poussent parfois à faire les questions et les réponses:
- Il est certains posts dont on peut prédire qu'ils seront abandonnés par leur auteur
- Je n'aime pas laisser les posts dans un état inachevé et qu'il faut reprendre, des semaines, des mois voire des années après.
(mot d'un général, américain je crois: quand tu pars au combat le matin, fais bien ton lit, quand tu rentreras le soir et que la journée n'aura pas été celle attendue, cela sera au moins une source de satisfaction!)

Ceci étant j'adhère complètement au principe fondamental porté par Q01 et rien n'est plus beau qu'un post dont on se dit en sortie: là, l'étudiant(e) a eu un "déclic" et se couchera moins bête ce soir ... quelque ait été l'état de son lit le matin

Posté par
gbm Webmasterre : Mouvement à accélération centrale 18-03-20 à 09:21

Bonjour dirac,

Je suis conscient que c'est frustrant de ne pas avoir un retour quand un membre poste un énoncé d'exercice et ne donne plus aucune nouvelle ensuite. Par exemple ici, la dernière connexion date du 12 mars 2020 à 19:36, autant dire au moment de la rédaction du sujet, plus rien depuis lors ...

Il est donc fort probable que la réponse ait été trouvée ailleurs.

Dans ces conditions, lors d'un nouveau sujet posté, je te conseille de démarrer un échange formel pour sonder l'attitude du membre, très rapidement tu constateras s'il est proactif, prêt à proposer ses réflexions ou le contraire ...


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