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Moteur "à réaction"

Posté par
Kiecane 10-06-17 à 17:04

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide pour un exercice:

Enoncé
Le cycle de Joule est le cycle théorique des turbines à gaz et des moteurs utilisés pour la propulsion dite "à réaction". Il est constitué de 2 adiabatiques réversibles et de 2 isobares réversibles.
A-->B: compression adiabatique réversible avec :
-au point A : pression P1
-au point B : pression P2

B-->C : compression isobare avec pression constante P2
C-->D : détente adiabatique réversible avec :
-au point C : pression P2
-au point D : pression P1
D-->A: refroidissement isobare avec pression constante P1

Le système est un gaz assimilé à un gaz parfait (n mol, C_{P,mol} et C_{V,mol} constantes) qui parcourt le cycle dans le sens ABCDA.

1. Exprimer les énergies thermiques Q_{AB}, Q_{BC}, Q_{CD}, Q_{DA} échangées par le gaz avec l'extérieur au cours des 4 étapes du cycle en fonction des températures (T_{A}, T_{B}, T_{C}, T_{D}).

J'ai trouvé :
Q_{AB}=0=Q_{CD}
Q_{BC}=\frac{nR\gamma }{\gamma -1}(T_{C}-T_{B})
Q_{AD}=\frac{nR\gamma }{\gamma -1}(T_{D}-T_{A})

Est-ce que c'est juste s'il-vous-plaît ?

2. En déduire l'expression du travail W_{cycle} échangé par le système avec le milieu extérieur sur un cycle en fonction des températures.

1er principe : \Delta U_{cycle}=W_{cycle}+Q_{cycle}=0
Q_{cycle}=Q_{source froide}+Q_{source chaude}=\frac{nR\gamma }{\gamma -1}(T_{D}-T_{A}+T_{C}-T_{B})
Donc W_{cycle}=-\frac{nR\gamma }{\gamma -1}(T_{D}-T_{A}+T_{C}-T_{B})


3. Exprimer le rendement du moteur en fonction des températures, puis en fonction du rapport \frac{P2 }{P1} et de \gamma
Indications : déterminer d'abord les relations entre P1, P2, TA, TB et entre P1, P2, TC, TD. Déterminer ensuite les rapports \frac{T_{A}}{T_{B}} et \frac{T_{D}}{T_{C}}.

Je ne vois pas comment faire.......


Merci d'avance à ceux qui voudront bien m'aider !

Posté par
vanoisere : Moteur "à réaction" 10-06-17 à 17:29

Bonjour
J'imagine qu'il s'agit d'une faute de copie de ta part : l'étape B-C ne correspond pas à une compression isobare ! Accoler ces deux termes n'a pas de sens : puisqu'une compression correspond à une augmentation de pression, une compression ne peut pas être isobare !
L'étape BC correspond à un apport de chaleur isobare par combustion d'une quantité de carburant très faible par rapport à la quantité initiale d'air. Cet apport de matière étant très faible, on peut, en bonne approximation, considérer le système comme fermé et l'évolution comme cyclique.
Le rendement est le rapport de la quantité utile sur la quantité coûteuse...
Suggestion : commence par étudier le corrigé que tu va trouver ici :

N'hésite pas ensuite à poser des questions si tu le juges utile.

Posté par
Kiecanere : Moteur "à réaction" 10-06-17 à 17:49

Oui c'est effectivement une erreur de ma part, je suis allée un peu vite : BC est une combustion isobare.
Merci pour le corrigé que tu m'as donné. J'ai été le voir : j'ai compris pourquoi la quantité utile était Q_{BC}+Q_{DA} mais je ne comprends pas pourquoi la quantité coûteuse correspond à Q_{BC}....
Est-ce que le reste de mes calculs pour les questions 1 et 2 est juste s'il-te-plaît ?

Posté par
vanoisere : Moteur "à réaction" 10-06-17 à 23:13

Il s'agit d'étudier le rendement d'un moteur à réaction (turbo réacteur). La quantité coûteuse (on peut dire aussi : payante par l'utilisateur) est le carburant que l'on injecte au cours de l'étape B-C : ce carburant, injecté dans l'air qui vient d'être comprimé et chauffé grâce à la compression A-B brûle instantanément en libérant de façon isobare la quantité de chaleur QBC. La quantité coûteuse est donc QBC.
L'étape D-A correspond au refroidissement isobare : la quantité de chaleur QDA correspond à une quantité de chaleur cédée à l'air ambiant, c'est une quantité de chaleur perdue pour l'utilisateur (d'où la valeur du rendement inférieur à 100%) mais il ne s'agit pas d'une quantité qui coûte de l'argent à l'utilisateur du moteur...
OK pour  l'expression de QBC mais il faut exprimer QDA et non QAD.

Posté par
Kiecanere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 00:12

Voici le résumé des résultats des questions :
1) Q_{AB}=Q_{CD}=0
Q_{BC}=\frac{nR\gamma }{\gamma -1}(T_{C}-T_{B})
Q_{DA}=\frac{nR\gamma }{\gamma -1}(T_{D}-T_{A})

2)W_{cycle}=-\frac{nR\gamma }{\gamma -1}(T_{D}-T_{A}+T_{C}-T_{B})

3)r=-\frac{T_{D}-T_{A}}{T_{C}-T_{B}}+1
\frac{T_{A}}{T_{B}}=\frac{T_{D}}{T_{C}}=(\frac{P_{2}}{P_{1}})^{(\frac{1-\gamma }{\gamma })}
Ensuite je suppose qu'il faudrait montrer que \frac{T_{A}}{T_{B}}-\frac{T_{D}}{T_{C}}=-\frac{T_{D}-T_{A}}{T_{C}-T_{B}} mais je n'y arrive pas..... et finalement je pense tout simplement que ce n'est pas égal mais du coup je n'arrive pas à trouver la relation finale qui est dans l'exercice corrigé que tu m'as donné.

Posté par
vanoisere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 11:29

Il suffit de tenir compte de la loi de Laplace dans l'expression du rendement :

r=1-\frac{T_{D}-T_{A}}{T_{C}-T_{B}}=1-\frac{T_{C}.\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}-T_{B}.\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{T_{C}-T_{B}}=1-\frac{T_{C}-T_{B}}{T_{C}-T_{B}}\cdot\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}

...

Posté par
Kiecanere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 11:31

Ok merci alors je pense qu'il se sont trompés dans la correction du site que tu m'as donné parce-que j'essayais d'obtenir le même résultat qu'eux mais ce n'est pas celui que tu trouves.

Posté par
vanoisere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 11:44

Bien sûr que si ! Les trois petit points de mon message précédent étaient là pour t'inviter à écrire la formule finale.


Puisque T_{C}\neq T_{B} :

\frac{T_{C}-T_{B}}{T_{C}-T_{B}}=1\quad donc\quad\boxed{r=1-\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}

Posté par
Kiecanere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 12:21

Ah oui mince !

Posté par
Kiecanere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 12:27

On me dit ensuite :
Calculer r pour : \frac{P_{2}}{P_{1}}=20
\gamma =1,4
Quelle valeur de rendement peut-on espérer pour un moteur réel ?

Je trouve r=-1,35
Je ne sais pas quelle valeur de rendement on peut espérer pour un moteur réel : est-ce que c'est une valeur à connaître ou une valeur qu'on nous demande de chercher ?

Posté par
vanoisere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 14:15

C'est de ma faute : j'ai mal recopiée la formule de la loi de Laplace, remplaçant (1-) par (-1)... Désolé, toutes mes excuses !
Je rectifie :

\boxed{r=1-\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}
Cela conduit numériquement à :
r=57,5%
Il faut évidemment trouver une valeur comprise entre 0 et 1...
Par rapport à la réalité, cette valeur est trop élevée. En effet, cette théorie nécessite de nombreuses approximations. J'en ai déjà évoqué certaines mais la principale consiste à appliquer la loi de Laplace :  la validité de cette loi suppose deux conditions :
1° les gaz peuvent être considérés comme parfaits : approximation assez bonne dans la mesure où la pression ne dépasse pas 20 bar ;
2° les évolutions sont considérées comme réversibles : approximation très grossière : les frottements ne sont pas négligeables et chaque état intermédiaire du gaz ne peut pas être considéré comme un état d'équilibre.
Remarque 1 : revois bien ton cours sur la notion de transformation réversible : ce n'est pas évident et pourtant c'est fondamental en thermo !
Remarque 2 : les rendement réels de ce type de turbine à gaz sont de l'ordre de 30%

Posté par
Kiecanere : Moteur "à réaction" 11-06-17 à 16:07

J'ai le même résultat pour le rendement. Merci beaucoup pour ton aide


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