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Montrer que la trajectoire est elliptique

Posté par
mariemation 12-11-17 à 17:17

Bonjour

j'ai trouvé les équations horaires du mouvement d'un point matériel dans le plan xOy comme suit:
\\ x=X_0 \cos(\omega t + \phi)  (1)
y=Y_0 \cos(\omega t + \phi')  (2)

je veux montrer que ce point a une trajectoire elliptique, je pose donc \phi' = \phi + \phi''
l'équation (2) devient:
y=Y_0 \cos(\omega t + \phi + \phi'')
y= Y_0( \cos(\omega t + \phi)\cos(\phi'')- \sin(\omega t + \phi)\sin(\phi''))
\frac{y}{Y_0}=\frac{x}{X_0}\cos(\phi'')- \sin(\omega t + \phi)\sin(\phi'')    avec  \frac{x}{X_0} = \cos(\omega t + \phi) selon (1)
et on a  \sin(\omega t + \phi) = \sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}
alors :
\frac{y}{Y_0}=\frac{x}{X_0}\cos(\phi'')- \sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(\phi'')

comme ça j'ai eliminé le temps entre x et y, mais je n'arrive toujours pas à écrire cette équation sous la forme (\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2 = 1.

si je prend le carré de \frac{y}{Y_0}=\frac{x}{X_0}\cos(\phi'')- \sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(\phi'')
je trouve (\frac{y}{Y_0})^2=(\frac{x}{X_0})^2\cos(2\phi'') + \sin^2(\phi'')- \frac{x}{X_0}\sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(2\phi'') et je n'arrive pas à enlever la racine de l'expression

et si je prend le carré de\frac{y}{Y_0} - \frac{x}{X_0}\cos(\phi'')= -\sqrt{1 - (\frac{x}{X_0})^2}\sin(\phi'')
je trouve (\frac{y}{Y_0})^2 + (\frac{x}{X_0})^2\cos^2(\phi'') - 2\cos(\phi'')\frac{xy}{X_0Y_0}= (1 - (\frac{x}{X_0})^2)\sin^2(\phi'') et j'obtient un terme où il y a xy

Quelqu'un peut m'aider s'il vous plait?

Merci.

Posté par
diracre : Montrer que la trajectoire est elliptique 12-11-17 à 17:36

Hello

Un peu d'aide ... mais pas trop:

Les directions des axes de ton ellipse ne sont confondues avec celles de xOy que si le déphasage (phi'') est un multiple impair de pi/2

Il faut donc que tu envisages un rotation "judicieuse" de ton repère.

Posté par
mariemationre : Montrer que la trajectoire est elliptique 12-11-17 à 17:58

vous voulez dire que je dois changer de repère? Désolée je n'ai bien compris ...

Posté par
diracre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 10:11

Hello

1) pour ne pas embarquer trop de trigonométrie, je change l'origine des temps pour n'avoir qu'un déphasage:

x=X_0 \cos(\omega t)     (1)
y=Y_0 \cos(\omega t - \phi)     (2)

(1) me donne    \cos(\omega t)=\frac{x}{X_0}    (1')      (c'est lundi, j'attaque doucement )

(2) me donne en développement le cosinus et en injectant (1')

\sin(\omega t)=\frac{1}{\sin\phi}(\frac{y}{y_0} -\frac{x}{X_0}\cos(\phi)  (2')

Donc pour éliminer la variable temps (démarche à ranger dans un coin de ta boîte à outils), j'utilise (1') et (2') et:

\sin^2(\omega t) +\sin^2(\omega t) = 1  devient

(\frac{x}{X_0})^2 - 2\frac{\cos\phi}{X_0Y_0}xy + (\frac{y}{Y_0})^2 = \sin^2\phi  (3)

Pour prouver que la trajectoire est elliptique, on pourrait s'arrêter là.

Mais tu souhaites pouvoir écrire une équation de la forme:

(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2 = 1

Pour cela il faut effectuer une rotation "pertinente":

Lorsque l'on passe du repère xOy à un repère x'Oy' par une rotation de , les formules de passages sont:

{\begin{cases}x=x'\cos \,\theta - y'\sin \,\theta \\y=x'\sin \,\theta +y'\cos \,\theta \end{cases}}

Si on injecte dans (3) le coefficient du terme en  x'y' est:

(\frac{1}{Y_0^2} -\frac{1}{X_0^2})\sin(2\theta) -\frac{2\cos\phi}{X_0Y_0}\cos(2\theta)  

il s'annule pour une rotation d'un angle  \theta = -\frac{1}{2}Arctg(\frac{2cos\phi X_0Y_0}{Y_0^2-X_0^2})

On a bon?

Posté par
mariemationre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 19:54

Oui c'est bon j'ai bien compris.

Merci Dirac!

Posté par
diracre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 20:03

YES!!!  Tu ne demandes pas les valeurs des demi-axes (a et b) ...

Posté par
mariemationre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 20:14

On les obtiendra en développant l'expression (3) après avoir remplacé x et y par x' et y'

Posté par
mariemationre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 20:16

Obtiendront**

Posté par
diracre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 20:18

tout à fait ... je t'invite à le faire uniquement si:
1) tu aimes la trigo
2) tu souhaites entrainer ta capacité à enchainer les calculs "arides"

Posté par
mariemationre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 20:38

j'ai trouvé:

a = \frac{X_0Y_0}{\sin(\phi)\sqrt{Y_0^2\cos^2(\theta)+X_0^2\sin^2(\theta)-X_0^2Y_0^2\cos(\phi)\sin(2\theta)}}
et

b = \frac{X_0Y_0}{\sin(\phi)\sqrt{X_0^2\cos^2(\theta)+Y_0^2\sin^2(\theta)+X_0^2Y_0^2\cos(\phi)\sin(2\theta)}}  

je ne sais pas si ça peut se simplifier encore..

Posté par
diracre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 20:48

Le calcul ne peut s'arrêter la ...

Tu sais que 2 = Arctg...  

que cos(Arctg(x)) = 1/(1+x2)

Et que sin(Arctg(x)) = x/(1+x2)

Bon, du coup il va falloir que je fasse le calcul de mon côté   (faudra de me laisser du temps ...  )

Posté par
mariemationre : Montrer que la trajectoire est elliptique 13-11-17 à 20:59

c'est pas la peine je le ferai moi même

Merci encore une fois

Posté par
diracre : Montrer que la trajectoire est elliptique 14-11-17 à 17:53

Je l'avais dit, donc je l'ai fait

1) il y a une petite coquille dans tes expressions de a et b:


a = \frac{X_0Y_0\sin(\phi)}{\sqrt{Y_0^2\cos^2(\theta)+X_0^2\sin^2(\theta)-X_0Y_0\cos(\phi)\sin(2\theta)}}


b = \frac{X_0Y_0\sin(\phi)}{\sin(\phi)\sqrt{X_0^2\cos^2(\theta)+Y_0^2\sin^2(\theta)+X_0Y_0\cos(\phi)\sin(2\theta)}}  

Ce qui conduit à :

a = X_0Y_0\sin\phi[X_0^2+Y_0^2 - (X_0^2-Y_0^2)\sqrt{1+p^2}]^{-1/2}

b = X_0Y_0\sin\phi[X_0^2+Y_0^2 + (X_0^2-Y_0^2)\sqrt{1+p^2}]^{-1/2}

avec p = 2cos\phiX_0Y_0(X_0^2-Y_0^2)^{-1}

Si nous n'avons pas là l'archétype du calcul complètement inutile ... (je vais quand même le stocker qlq part pour ne plus jamais avoir à le faire)


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