Niveau maths sup

Montée d'un ballon d'hélium

Posté par
wsscr 27-06-16 à 23:09

Bonjour,
Je cherche à comprendre ce qu'il se passe lors de la montée d'un ballon d'hélium pour faire un modélisation en python.

Avec la formule du nivellement baromètre :
je note masse volumique = p
p(z) = p(z0) (1 - (a * z / T(h0 )) ^(Mg/Ra -1)

comme M = 4 pour l'He, Mg/Ra -1 < 0
Donc, on trouve, dans la limite d'une évolution de la température linéaire, un volume de ballon qui décroit, ( mon prof de physique ma dit que c'était le cas si on s'arrête justement avant la tropopause )

je devrai pouvoir modéliser la même chose jusqu'à la stratosphère avec un autre modèle de température, mais là n'est pas le problème...

En fait, ce que je n'arrive pas à exprimer, c'est une formule prenant en compte la pression extérieur, de l'air.
Puisque je pense que si il n'y a plus d'air ( ou presque ), le ballon prend toute la place occupée, jusqu'à exploser ( d'où le fait que les ballon explosent en haute altitude )

En gros, je voudrai exprimer le volume en fonction de l'altitude avec, en basse / moyenne altitude, un volume de ballon qui diminue, puis augmente jusqu'à éclatement en stratosphère. Est - ce juste ?
Comment faire ?

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : Montée d'un ballon d'hélium 28-06-16 à 14:50

Bonjour

Citation :
En fait, ce que je n'arrive pas à exprimer, c'est une formule prenant en compte la pression extérieur, de l'air.
Puisque je pense que si il n'y a plus d'air ( ou presque ), le ballon prend toute la place occupée, jusqu'à exploser

Tu peux tenter la modélisation suivante, en assimilant le ballon à une membrane sphérique élastique, de rayon R, d'épaisseur négligeable.
Le calcul de la résultante des forces pressantes exercées par le gaz intérieur de pression Pi et par l'air extérieur de pression Pe est sans intérêt : par raison de symétrie, on obtient le vecteur nul. Plus intéressant : imagine un plan vertical (

) passant par le centre du ballon et donc séparant virtuellement le ballon en deux hémisphères identiques. En écrivant que l'hémisphère de droite est en équilibre sous l'action de trois forces : la force pressante exercée par le gaz interne, la force de pression exercée par l'air extérieur et la force de cohésion exercée par l'hémisphère de gauche, il est facile de démontrer que cette force de cohésion est perpendiculaire au plan (

) et d'intensité :

R²(Pi - Pe). Le poids de la demie membrane est je pense négligeable. Cette force est uniformément répartie sur une longueur 2

R ; ce qui conduit à une force de cohésion linéique :

$F_{L}=\left(P_{i}-P_{e}\right)\cdot\frac{R}{2}$
Par analogie avec la loi de Hook en résistance des matériaux, on peut considérer la membrane comme élastique et écrire que l'augmentation de rayon est proportionnelle à cette force linéique :

$F_{L}=\left(P_{i}-P_{e}\right)\cdot\frac{R}{2}=k\cdot\left(R-R_{0}\right)$
où Ro représente le rayon dans le cas Pi = Pe ; cette loi restant valide tant que R<R_max(valeur de R correspondant à l'éclatement). Évidemment, ce modèle est assez grossier : la membrane n'est pas rigoureusement élastique, considérer k comme une constante n'est pas rigoureusement vérifié pour R proche de R_max...

Posté par re : Montée d'un ballon d'hélium 28-06-16 à 23:27

Complément à mon message précédent : on peut faire une démonstration un peu plus sophistiquée qui tient compte de l'épaisseur de la membrane du ballon. Elle fait intervenir le module d'élasticité de Young dont on trouve facilement les valeurs sur le net.
Le début de la démonstration est identique : la force de cohésion exercée par une hémisphère sur l'autre vaut R²(Pi - Pe). Cette force est répartie uniformément sur une surface 2R.e : produit de la longueur de contact entre les deux hémisphères par l'épaisseur de la membrane. Cela conduit à une densité surfacique de force :

$\sigma=\frac{\pi R^{2}\left(P_{i}-P_{e}\right)}{2\pi Re}=\frac{R\left(P_{i}-P_{e}\right)}{2e}$
Je fais aussi l'hypothèse simplificatrice que le volume de la membrane reste fixe : son épaisseur diminue si le rayon augmente. Cela donne : $4\pi R^{2}e=4\pi R_{0}^{2}e_{0}$ soit, en tenant compte de la relation précédente :

$\sigma=\frac{R^{3}\left(P_{i}-P_{e}\right)}{2R_{O}^{2}e_{0}}$
La loi de Hook sur les corps élastiques précise que la densité surfacique de force est le produit du module d'élasticité de Young (constante caractéristique du caoutchouc constituant la membrane) par l'augmentation relative de rayon :

$\sigma=E\frac{R-R_{0}}{R_{0}}$
Soit en identifiant :

$P_{i}-P_{e}=2Ee_{0}R_{0}\frac{R-R_{0}}{R^{3}}$
Ce modèle est plus performant que celui décrit précédemment et "colle " assez bien avec certaines expériences que l'on trouve décrites sur le net.
Le modèle précédent est compatible avec celui-ci en posant :

$k=\frac{Ee_{0}R_{0}}{R^{2}}\approx\frac{Ee_{0}}{R_{0}}=constante$
L'approximation est grossière. Autre avantage de cette méthode, tu peux sans doute trouver sur le net ou en faisant une expérience la valeur _R de la densité surfacique de force conduisant à la rupture de la membrane soit à l'éclatement du ballon.