Niveau maths sup

Montage dérivateur de l'AO en pratique

Posté par
mariemation 23-03-18 à 19:41

Bonsoir à tous

J'ai quelques questions à propos du montage dérivateur de l'amplificateur opérationnel:

1) Pour réaliser le montage dérivateur, l'AO doit fonctionner en régime linéaire càd  la tension de sortie suivera les variations de la tension d'entrée donc $u_s$ et $u_e$ doivent avoir la même forme. Or pour une tension d'entrée triangulaire par exemple, on a une tension de sortie rectangulaire. Est ce que cela veut dire que l'AO n'est pas en régime linéaire ou bien ma définition de linéarité est fausse?

2) On a étudié dans le cours deux versions du montage dérivateur mais seulement une est réalisable en pratique (le montage en bas).  Le prof nous a dit que l'inconvénient du premier montage est que $u_s$ augmente avec la fréquence, donc l'AO ne fonctionnera plus en régime linéaire après une certaine fréquence.

   a) Je ne vois pas la nécessité du montage pratique (qui ne fonctionne comme dérivateur qu'en basses fréquences)  puisqu'on peut toujours utiliser le premier montage en basses fréquences.

   b) Je ne comprend pas comment le deuxième montage peut fontionner comme dérivateur en basses fréquences ( $\omega<<\omega _c$ selon le cours) alors qu'il est un filtre passe-haut: n'est-il pas censé rejeter les sigaux de fréquence inférieure à celle de coupure $\omega _c$ ?

Merci

$Montage dérivateur de l\'AO en pratique$

Posté par re : Montage dérivateur de l'AO en pratique 23-03-18 à 20:42

Salut,

"Est ce que cela veut dire que l'AO n'est pas en régime linéaire ou bien ma définition de linéarité est fausse? "

C'est ta définition de la linéarité qui est fausse.
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Montage du bas.

Us/Ue = -R2/(R1 + 1/(jwC1))

Us/Ue = -jwR2.C1/(1 + jwR1C1)

Si on est en basse fréquence, wR1C1 < < 1 et on a alors

Us/Ue $\simeq$ -jw.R2.C1

Soit donc : Us $\simeq$ -R2C1.dUe/dt

Us est donc bien quasi proportionnelle à la dérivée de Ue

Par contre, en haute fréquence : wR1C1 > > 1 et on a alors :

Us. $\simeq$ -Ue.R2/R1

Et le montage ne se comporte plus comme un dérivateur mais bien comme un simple inverseur de gain -R2/R1

Sauf distraction.

Posté par re : Montage dérivateur de l'AO en pratique 23-03-18 à 22:11

Merci pour vos explications

mais le deuxième montage est un filtre passe haut alors normalement il doit rejeter les signaux de fréquence < $\frac{1}{R_1C_1}$ (quui est sa fréquence de coupure)

Posté par re : Montage dérivateur de l'AO en pratique 24-03-18 à 14:03

Filtre passe-haut ... soit, mais ce n'est pas ce qu'on recherche ici.

Ce qu'on cherche est un filtre qui se comporte en dérivateur (et c'est vrai qu'un dérivateiur à un comportement passe-haut)
******************

La fonction de transfert est celle que j'ai donnée.

Soit (en alternatif) sinusoïdal : Us/Ue = -jwR2.C1/(1 + jwR1C1)

|Us/Ue| = wR2.C1/RCarrée(1+w²R1²C1²)

En basse fréquence (wR1C1 < < < 1), on a presque |Us/Ue| = wR2.C1

En haute fréquence, on a presque : |Us/Ue| = R2/R1

MAIS, ici on s'intéresse à la nature dérivative ou non ... et donc, il faut aussi déterminer l'argument de Us/Ue

Arg(Us/Ue) = -Pi/2 - arctg(wR1C1)

En basse fréquence (w.R1C1 petit), on a pratiquement arctg(wR1C1) = arctg(0) = 0 et donc Arg(Us/Ue) = -Pi/2

En haute fréquence (wR1C1 grand), on a pratiquement arctg(wR1C1) = Pi/2 et donc Arg(Us/Ue) = -Pi/2 - Pi/2 = -Pi (ou ce qui revient au même Pi)

De cela on peut conclure que le montage se comporte :

- En basse fréquence : comme un inverseur dérivateur.

- En haute fréquence : comme un inverseur classique (sans dérivation)

Dit autrement:

- En basse fréquence on a $U_s \simeq - R2.C1. \frac{dU_e}{dt}$ ... donc dérivateur inverseur.

- En haute fréquence, on a $U_s \simeq -\frac{R2}{R1} U_e$ ... donc inverseur simple.

Si la fréquence f du signal d'entrée reste telle qu'on peut considérer que f < < 1/(2.Pi.R1.C1), alors le montage se comporte comme un dérivateur inverseur.
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Exemple pratique : si le signal d'entrée a une fréquence d'entrée < 1000 Hz, pour que le montage se comporte comme un dérivateur inverseur, il faudra que 100 < < 1/(2.Pi.R1.C1)

Soit donc que R1.C1 < < 0,0016

C'est évidemment toujours vrai si R1 = 0 et donc le montage du haut se comportera comme un vrai dérivateur pour toute fréquence ... sauf si on sort de sa plage de travail linéaire (ce qui risque d'arriver si f est grande)

Pour le montage du bas, il faut que R1.C1 < < 0,0016 s (pour travailler comme un presque parfait dérivateur aves des fréquences du signal d'entrée < 1000 Hz)

Le rapport R2/R1 doit aussi rester tel que l'ampli ne sorte pas de sa plage linéaire (dépend aussi de l'amplitude du signal d'entrée et des tensions d'alimentation de l'ampli)

Exemple: si Ue a une amplitude max de 5 V (exemple) et que l'ampli est alimenté entre -15 V et + 15 V avec des tensions de déchet de 2 volts.

La sortie ne peut pas avoir une amplitude supérieure à 15-2 = 13 V

--> R2/R1 <= 13/5
R1 >= 0,39.R2

Supposons que R2 = 10 kohms, alors il faut R1 >= 3,9 kohms
Si on choisis R1 = 4000 ohms, alors comme il faut R1.C1 < < 0,0016, on devra prendre C1 < < 4.10^-7 F

On choisira par exemple C1 = 4.10^-8 F

Et pour f < 1000 Hz et amplitude max de 5 V pour Ue, le montage aura "presque" une réponse telle que : $U_s \simeq - R2.C1. \frac{dU_e}{dt}$

soit : $U_s \simeq - 10^4 * 4.10^-8 . \frac{dU_e}{dt}$

$U_s \simeq - 0,0004 . \frac{dU_e}{dt}$

OK ?