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Moments principaux d'inertie

Posté par
lseioz 29-10-19 à 12:39

Bonjour,
D'après la leçon, le tenseur d'inertie (c'est les moments principaux d'inertie ?) est I1= somme de a de ma(ya²+za²)
I2= " "( xa²+za²) et I3=""(ya²+za²) avec a en indice.
Voici l'exercice pour débuter le chapitre:
Déterminer les moments principaux d'inertie pour une molécule diatomique(voir schéma, avec l la distance entre les 2 atomes).
Je ne sais pas comment commencer, je vois que I1=0 et I2=I3= somme de a de ma za² mais je ne comprends pas ce que la formule signifie et c'est qu'est le a. Et donc, l'énergie de rotation est 1/2 fois les moments principaux d'inertie (I1+I2+I3) ?

$Moments principaux d\'inertie$

Posté par re : Moments principaux d'inertie 29-10-19 à 14:41

Bonjour

Je crois qu'il vaut mieux retenir le sens physique de chacun des termes de la matrice d'inertie en un point (oui : une matrice d'inertie (ou tenseur d'inertie) dépend à la fois du solide étudié et du point où se calcule la matrice. La matrice d'inertie d'un solide (S) en un point O a pour expression générale :

$\\ I_{(S/O)}=\left(\begin{array}{ccc} \\ I_{Ox} & -P_{xy} & -P_{xz}\\ \\ -P_{xy} & I_{Oy} & -P_{yz}\\ \\ -P_{xz} & -P_{yz} & I_{Oy} \\ \end{array}\right)$

La diagonale correspond aux moments d'inerties par rapport aux trois axes.

Les autres termes sont les produits d'inerties :

$\\ P_{xy}=\sum_{a}m_{a}.x_{a}.y_{a}$

On obtient les deux autres par permutation.

Si le solide présente suffisamment de symétrie, les trois produits d'inertie peuvent être nuls.

Pour effectuer les calculs, on découpe le solide en N petits solides quasi ponctuels de numéros a avec a variant de 1 à N. “a” est tout simplement l'indice ; c'est vrai que la notation est trompeuse par rapport aux cours de math où on utilise plus volontiers la lettre i ou la lettre n.

Concernant le cas de la molécule : faut-il l'assimiler à deux points matériels de masses m1 et m2 situés sur l'axe (Oz) aux distances r1 et r2 de O ?

Posté par re : Moments principaux d'inertie 29-10-19 à 22:54

Comment obtenez-vous la matrice d'inertie ? Dans mon cours, on passe de l'énergie cinétique de rotation (en équation ligne) en matrice (si j'ai bien compris, mais je n'ai pas compris, justement, comment).
Pour trouver le tenseur d'inertie en x, I11= IOy.IOz +2Pyz mais comment faire pour trouver comme dans mon cours, somme de a ma(ya²+za²)
Concernant l'exercice, oui on assimile à deux points matériels de masses m1 et m2 sur l'axe (Oz) aux distances r1 et r2 de O. (l'énoncé nous parle uniquement de m1, m2 et L(distance entre m1 et m2) mais l'aide nous donne r1 et r2)
Si j'ai bien compris je cherche I1=I11=I2=I22 et I3=0 (moments principaux d'inerties des 3 axes), donc je dois trouver m_az_a². Je place l'origine de l'axe (Oz) de telle manière qu'il soit au centre d'inertie de la molécule, par conséquent éliminer une inconnue. Ainsi (m1r1+m2r2)/m1+m2 = 0 (soit m1r1+m2r2=0) et L=r1+r2.
Je résous le système à 2 inconnues, r1=(-Lm2)/(m1-m2) et r2=(m1L)/(m1-m2).
I1=I2=m1.r1² + m2.r2².
L'énergie cinétique de rotation serait (1/2).( I1+I2).

Posté par re : Moments principaux d'inertie 30-10-19 à 10:31

La matrice d'inertie se détermine à partir du moment cinétique du solide calculé au point O, lors d'un mouvement de rotation autour du point O considéré comme fixe :

$\overrightarrow{L_{(S/0)}}=I_{(S/O)}\cdot\overrightarrow{\Omega}$

$\\ \overrightarrow{\Omega}$ étant le vecteur rotation instantané du solide. La démonstration n'est pas tout à fait évidente. On démontre également que l'énergie cinétique, pour un tel mouvement, vaut :

$E_{c}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{\Omega}\cdot\overrightarrow{L_{(S/0)}}=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{\Omega}\cdot I_{(S/O)}\cdot\overrightarrow{\Omega}$

On arrive alors à l'expression de la matrice d'inertie que je t'ai fournie précédemment.

Dans le cas particulier de ta molécule diatomique, la modélisation simplifiée de ton exercice rend le calcul simplissime. Les coordonnées des deux atomes assimilés à des points matériels sont :

$M_{1}\left(0,0,-r_{1}\right)\quad;\quad M_{2}\left(0,0,r_{2}\right)$

L'application des formules données dans mon premier message conduit à :

$I_{(S/0)}=\left(\begin{array}{ccc} \\ m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2} & 0 & 0\\ \\ 0 & m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2} & 0\\ \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right)$

Attention : les expressions des moments d'inerties par rapports aux axes que tu as fournies dans ton premiers messages ne sont pas toutes correctes. De façon générale, le moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe quelconque s'écrit :
$\\ I_{(S/\Delta)}=\sum_{a}m_{a}.d_{a}^{2}$

où d_a désigne la distance entre la masse quasi ponctuelle n° a et l'axe. Avec ton repère, cela donne :

$I_{Ox}=\sum_{a}m_{a}\left(y_{a}^{2}+z_{a}^{2}\right)\quad I_{Oy}=\sum_{a}m_{a}\left(x_{a}^{2}+z_{a}^{2}\right)\quad I_{Ox}=\sum_{a}m_{a}\left(y_{a}^{2}+x_{a}^{2}\right)$

Posté par re : Moments principaux d'inertie 30-10-19 à 12:26

Si j'ai bien compris, un moment cinétique est L=OM^p (tout en vecteurs) et le solide subit juste un mouvement de rotation donc p= m. (ne faut-il pas faire plutot .r avec r le déplacement?). I(S/O)=OM(vecteur)^m et comment passer à la matrice, d'habitude je calcule en ligne mais j'ai déjà vu une notation pour A^B, sur la 1ère ligne il y avait x y z, seconde Ax Ay Az et troisième Bx By Bz, mais jamais x y z en diagonale.
Et pour l'exercice, sans exprimer r1 et r2, j'ai correct ?

Posté par re : Moments principaux d'inertie 30-10-19 à 13:09

Citation :
Si j'ai bien compris, un moment cinétique est L=OM^p

Oui avec, dans le cas particulier dans le cas d'un mouvement de rotation autour du point O :
$\overrightarrow{p}=m.\overrightarrow{v}=m.\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OM}$
Pour le solide en rotation autour du point O :

$\overrightarrow{L_{(S/0)}}=\sum_{a}m_{a}.\overrightarrow{OM_{a}}\wedge\left(\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{OM}\right)$
Le calcul n'est pas simple dans le cas général avec le double produit vectoriel...

Citation :
Et pour l'exercice, sans exprimer r1 et r2, j'ai correct ?

Je ne comprends pas ta question. C'est vrai que tu n'as pas fourni l'énoncé précis...

Posté par re : Moments principaux d'inertie 30-10-19 à 19:50

Énoncé: determiner les moments principaux d'inertie pour une molécule diatomique.
Il y a un schéma où on voit m1 et m2 séparés d'une distance L. J'ai posté le schéma "aide" comme il y a plus de donnée pour raisonner.
Ma réponse: I1=I2=m1r1²+m2r2^2.
Déterminons r1 et r2:
Je place l'origine de l'axe (Oz) de telle manière qu'il soit au centre d'inertie de la molécule, par conséquent éliminer une inconnue. Ainsi (m1r1+m2r2)/m1+m2 = 0 (soit m1r1+m2r2=0) et L=r1+r2.
Je résous le système à 2 inconnues, r1=(-Lm2)/(m1-m2) et r2=(m1L)/(m1-m2).
Et je remplace dans la formule plus haut r1 et r2 par leurs valeurs.

Posté par re : Moments principaux d'inertie 30-10-19 à 21:20

Impossible de s'en sortir sans un renseignement supplémentaire :
Première hypothèse : O milieu de M1M2 comme semble le suggérer le schéma ???
Deuxième hypothèse : O centre d'inertie de la molécule ??? Tu sembles privilégier cette hypothèse mais l'énoncé tel que tu l'a copié ne le précise pas.
Attention aux signes dans ce cas.

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