Niveau école ingénieur

Moment d'une force

Posté par
Meedfried 01-11-20 à 19:22

Bonjour,

En mécanique on a utilisé une formule pour calculer le moment, cependant je pensais que le moment c'était la distance vectorielle la force...

$\vec{M}=\int \vec{F}\wedge \vec{AB}$

ou alors pensez vous que je confonds la formule

$\vec{Mp}=\vec{Ma}+\int \vec{F}\wedge \vec{AP}$

avec

$\vec{Mp}=\vec{Ma}+\int \vec{PA}\wedge \vec{F}$

Merci !

Posté par re : Moment d'une force 01-11-20 à 19:36

Bonjour
Un moment vectoriel dépend de la force mais aussi du point où on le calcule. Cela doit figurer dans la notation.
Que vient faire le symbole intégrale dans la première formule ?

Posté par re : Moment d'une force 01-11-20 à 20:00

Il y a bien pas d'intégrale.

Les 2 formules d'après sont des formules de translation ?

Et sont elles équivalentes si on considère le segment AP avec la force au point P ?

Posté par re : Moment d'une force 01-11-20 à 20:14

Voici la partie qui me pose problème pour le moment .

C'est un cône posé sur un plan
r est une force linéique
Et I est un point quelconque sur le segment.
G est le centre de gravité

L'intégrale permet donc de trouver la résultante
Mais pour le moment je ne comprends pas

$Moment d\'une force$

Posté par re : Moment d'une force 01-11-20 à 20:33

Soit une force F appliquée en P. Son moment en un point A quelconque s'écrit :

$\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F}/A}}=\overrightarrow{AP}\wedge\overrightarrow{F}$

Il en résulte évidemment que le moment de cette force est nulle en P :

$\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F}/P}}=\overrightarrow{0}$

Le moment de la force en un autre point quelconque B s'écrit :

$\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F}/B}}=\overrightarrow{BP}\wedge\overrightarrow{F}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AP}\right)\wedge\overrightarrow{F}=\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F}/A}}+\overrightarrow{BA}\wedge\overrightarrow{F}$

Si maintenant la force est à distribution linéique, il faut effectivement appliquer une méthode de découpage et intégrer. Soit par exemple, $\overrightarrow{r_{(l)}}$ la densité linéique de force en I (i majuscule), à la distance l (L en minuscule) du point G, La force élémentaire appliquée à une longueur élémentaire dl centrée en I s'écrit :

$\overrightarrow{dF}=\overrightarrow{r_{(l)}}.dl$

Le moment élémentaire de cette force en G s'écrit :

$\overrightarrow{dM_{G}}=\overrightarrow{GI}\wedge\overrightarrow{r_{(l)}}.dl$

La résultante est ainsi :

$\overrightarrow{R}=\int_{0}^{l}\overrightarrow{r_{(l)}}.dl$

Le moment résultant en G :

$\\ \overrightarrow{M_{G}}=\int_{0}^{l}\left(\overrightarrow{GI}\wedge\overrightarrow{r_{(l)}}\right).dl$

Posté par re : Moment d'une force 01-11-20 à 20:55

Merci pour votre réponse

J'ai donc réalisé le produit vectoriel des deux relations (celle du cône et le moment résultant en G) et je trouve que les deux relations sont égales.
Je préfère tout de même votre écriture

Posté par re : Moment d'une force 02-11-20 à 15:34

Bonjour, petit commentaire pour Meedfried :

Les quantités vectorielles $\vec{F}\wedge\vec{AP}$ et $\vec{PA}\wedge\vec{F}$ sont égales. En effet :

$\vec{PA}\wedge\vec{F}=(-\vec{AP})\wedge\vec{F}=-(\vec{AP}\wedge\vec{F})$
(homogénéité)

Et : $\vec{AP}\wedge\vec{F}=-(\vec{F}\wedge\vec{AP})$ (antisymétrie du produit vectoriel)

Ona donc bien : $\vec{PA}\wedge\vec{F}=-(\vec{AP}\wedge\vec{F})=-(-(\vec{F}\wedge\vec{AP}))=\vec{F}\wedge\vec{AP}$ .