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Moment, d'inertie et polaire

Posté par
Kasweka
04-02-25 à 13:12

Bonjour j'ai besoin d'aide

On dit :
Pour la figure ci-dessous, déterminer les moments d'inertie par rapport aux axes centraux "x" et "y" ainsi que le moment d'inertie polaire.

Pour déterminer le moment d'inertie

#Je devrais d'abord trouver le centre de gravité de l'ensemble

Pour ça j'ai pensé à associé l'ensemble à un repère
Dont l'origine le coin intérieur à gauche
Pour trouver les coordonnées du centre de ce centre de gravité

Axe X vers la droite

Axe Y vers le haut


Les sommets du quadrilatère sont définis en fonction des longueurs connues :

A (0,0) : Coin inférieur gauche

B (95,0) : Coin inférieur droit

C (75,40) : Coin supérieur droit

D (0,40) : Coin supérieur gauche
Je devrais trouver le centre de gravité de chaque figure séparément pour pouvoir en déduire le CG de l'ensemble, Connaissant l'air de chaque figure

Pour le quadrilatère irrégulier

x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}, \quad y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4}, \quad

x_G = \frac{0 + 95 + 75 + 0}{4} = \frac{170}{4} = 42.5

y_G = \frac{0 + 0 + 40 + 40}{4} = \frac{80}{4} = 20
Dans ce repère, le centre de gravité du quadrilatère seul est situé en :

(x_G, y_G) = (42.5, 20)

Deuxième méthode

Décomposition en Triangles + Moyenne Pondérée

Le quadrilatère peut être divisé en deux triangles en traçant une diagonale.
On prend la diagonale AC qui divise le quadrilatère en :

Triangle 1 (ABC)

Sommets : A(0,0), B(95,0), C(75,40)
Base = 95, Hauteur = 40

A_1 = \frac{1}{2} \times 95 \times 40 = 1900

x_1 = \frac{0 + 95 + 75}{3} = \frac{170}{3} = 56.67

y_1 = \frac{0 + 0 + 40}{3} = \frac{40}{3} = 13.33


Triangle 2 (ACD)

Sommets : A(0,0), C(75,40), D(0,40)

Base = 75, Hauteur = 40

Aire :
A_2 = \frac{1}{2} \times 75 \times 40 = 1500

x_2 = \frac{0 + 75 + 0}{3} = \frac{75}{3} = 25

y_2 = \frac{0 + 40 + 40}{3} = \frac{80}{3} = 26.67

1.2 Calcul du centre de gravité du quadrilatère

On applique la formule de la moyenne pondérée des centres de gravité :

x_G = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2}{A_1 + A_2}, \quad y_G = \frac{A_1 y_1 + A_2 y_2}{A_1 + A_2}

x_G = \frac{(1900 \times 56.67) + (1500 \times 25)}{1900 + 1500}

x_G = \frac{107673 + 37500}{3400} = \frac{145173}{3400} = 42.7

y_G = \frac{(1900 \times 13.33) + (1500 \times 26.67)}{1900 + 1500}

y_G = \frac{25327 + 40005}{3400} = \frac{65332}{3400} = 19.2

Presque identique
####Pour le demi cercle en bas en observant

L'ensemble j'arrive pas trouver les coordonnées de sont centre (qui est le milieu de la base du triangle isocèle) par rapport à mon repère
Est ce que j'ai mal choisi mon repère????

#Le demi cercle près du bord qui mesure 75
Son centre à pour coordonnées (55;40)

\Delta y = \frac{4R}{3\pi}
\Delta y = \frac{4 \times 15}{3\pi} = \frac{60}{3\pi} = \frac{20}{\pi} \approx 6.37

Comme le demi-disque est en dessous de l?axe horizontal passant par le centre

x_G = 55 \\ y_G = 40 - 6.37 = 33.63

Et pour le triangle isocèle
Je sais le centre de gravité est à 1/3h de la hauteur qui fait 20
Du coup ses cordes y=20 en observant la figure
Et j'ai du mal à déterminer l'abscisse x
Est ce que j'ai mal choisi le centre de mon repère
Oubien y'a-il  un meilleur emplacement pour le centre du repère ?

Moment, d\'inertie et polaire

---------------

***Latex ajouté => merci de penser aux balises !***

Posté par
Candide
re : Moment, d'inertie et polaire 04-02-25 à 19:00

Bonjour,

Tu peux choisir le repère comme tu l'as fait ... cependant :

Comme la plupart des cotes sur le dessin sont soit en "vertical", soit en "horizontal", il est plus facile de choisir un repère avec les axes parallèles aux cotes.

J'aurais choisi quelque chose comme suit :

Moment, d\'inertie et polaire



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