M11.3. Chute d'un météorite.

Un météorite, de masse m, a, très loin de la Terre, une vitesse vo de module vo portée par une droite D située à une distance b du centre O de la Terre. On suppose que le météorite est soumis uniquement au champ gravitationnel terrestre et qu'il n'y a jamais de forces de frottement. Soit A le point de la trajectoire tel que la distance Terre-météorite soit minimale. On note OA = d. On supposera que la Terre reste immobile dans un référentiel galiléen.



On veut déterminer à partir de quelle valeur de b le météorite s'écrasera sur la Terre. On notera G la constante de gravitation, M la masse de la Terre, supposée sphérique, homogène, de masse volumique r , de rayon R.

1)Donner l'expression de la force de gravitation en un point P de la trajectoire tel que OP = r. Calculer l'énergie potentielle Ep(r) du météorite en ce point.
On prendra Ep(¥ ) = 0.

2)Quelles sont les grandeurs physiques conservées au cours du mouvement? On donnera une justification. En déduire que la trajectoire est plane.
3)Donner l'expression de la vitesse en coordonnées polaires. Montrer qu'en A, point de la trajectoire le plus proche de O, la vitesse v1 ( de norme v1) est orthogonale à OA.
4)En explicitant la question 2) , trouver deux relations liant b, d, G, M, vo, v1.
5)En déduire l'expression de d en fonction de G, M, b, vo.
6)Soit R le rayon de la Terre. Quelle condition doit satisfaire b pour que le météorite de vitesse initiale vo rencontre la Terre ?




j'ai un problème à aprtir de la question 4 mreci de votre aide