Niveau licence

Moment cinétique en sphérique (mécanique quantique)

Posté par
TheBartov 17-02-15 à 16:41

Bonjour,

j'ai un soucis pour redémontrer 3 équivalences :

Sachant qu'en sphérique on a :
$\\ \left \lbrace\begin{array}{l}x = r\cos\varphi\sin\theta \\ y = r\sin\varphi\sin\theta \\z = r\cos\theta \\ \end{array} \\ \right.$

Je veux montrer que le moment cinétique en sphérique se réécrit : (pour $\vec{L}=\vec{r}\wedge\vec{p}$ )

$\\ \left \lbrace\begin{array}{l}L_x =\frac{\hbar}{i}\left(y\partial_z-z\partial_y\right) \\ L_y =\frac{\hbar}{i}\left(z\partial_x-x\partial_z\right) \\L_z =\frac{\hbar}{i}\left(x\partial_y-y\partial_x\right) \\ \end{array}\right.\Leftrightarrow\left \lbrace\begin{array}{l}L_x =i\hbar\left(\sin\varphi\partial_\theta+\frac{\cos\varphi}{\tan\theta}\partial_\varphi\right) \\ L_y =i\hbar\left(-\cos\varphi\partial_\theta+\frac{\sin\varphi}{\tan\theta}\partial_\varphi\right) \\L_z =\frac{\hbar}{i}\partial_\varphi \\ \end{array}\right.$

Pour retrouver ces formules, j'ai calculer $\partial_x\psi$ , $\partial_\psi$ et $\partial_z\psi$ (où est une fonction arbitraire).

Donc en calculant préalablement les différentielles dx, dy et dz ; et en écrivant :

$\frac{\partial\psi}{\partial x}=\frac{\partial\psi}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial\psi}{\partial \theta}\frac{\partial\theta}{\partial x}+\frac{\partial\psi}{\partial \varphi}\frac{\partial\varphi}{\partial x}$

(de même pour _y et _z) et en utilisant la condition :
$\partial_x r=1/\partial_r x$

j'ai ainsi établis les relations liants $\partial_{x,y,z}$ à $\partial_{r,\theta,\varphi}$ .

Mais en remplaçant les dérivées partielles en x et en y dans l'expression de L_z, je trouve :

$L_z=\frac{2\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial\varphi}$

il y a un facteur 2 en trop... ensuite, en utilisant mes relations, je ne retrouve pas du tout les expressions de L_x et L_y....

Ma méthode n'est-elle pas juste ?

Posté par re : Moment cinétique en sphérique (mécanique quantique) 17-02-15 à 17:07

ton 2 vient d'ou?

Posté par re : Moment cinétique en sphérique (mécanique quantique) 17-02-15 à 17:15

En fait, j'ai montré que

$\partial_x = \frac{1}{\cos\varphi\sin\theta}\partial_r+\frac{1}{r\cos\varphi\cos\theta}\partial_\theta-\frac{1}{r\sin\varphi\sin\theta}\partial_\varphi$

et

$\partial_y = \frac{1}{\sin\varphi\sin\theta}\partial_r+\frac{1}{r\sin\varphi\cos\theta}\partial_\theta+\frac{1}{r\cos\varphi\sin\theta}\partial_\varphi$

Et ainsi, en injectant ces deux formules dans la définitions de L_z, je trouve ce que j'ai noté plus haut (avec le "2" en trop... :/ )

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Moment cinétique en sphérique (mécanique quantique)

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique