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Moment cinétique

Posté par
Nerf 09-09-23 à 22:16

Bonsoir, svp je n'arrive pas à déterminer le moment cinétique par rapport à A de ce système. A est fixe et C mobile sur une tige de masse négligeable. Le système subit deux rotations dans $\theta$ et $\phi$ variable dans le temps.

Posté par re : Moment cinétique 09-09-23 à 22:25

Bonjour
Il faudrait un énoncé complet. Par exemple : peut-on considérer comme négligeable les masses des quatre tiges de longueurs a ?
Dans tous les cas il faut commencer par exprimer les vitesses des deux masses.

Posté par re : Moment cinétique 18-09-23 à 03:01

Bonjour Vanoise. Oui les quatre tiges sont de masse négligeable. J'ai voulu tout d'abord écrire l'expression des vecteurs positions des deux masses mais le mouvement s'effectuant dans l'espace, j'ai des difficultés à le faire. Dans la réflexion, je me suis posé le repère cartésien dont l'axe $\vec {e_z}$ est confondu à l'axe du ressort ; $\phi$ décrira un angle dans le plan horizontal. Mais jusqu'à là je n'arrive toujours pas à concrétiser ma réflexion.

Posté par re : Moment cinétique 18-09-23 à 09:53

J'ai pensé à faire ceci.

Tout d'abord je me suis posé un repère d'origine A d'axe Az suivant l'axe du ressort. Je veux utiliser les coordonnées sphériques. J'ai fixé les axes Ax et Ay telles que à l'instant initial, le système est contenu dans le plan xAz. Il est question de déterminer les positions de C et de B dans ce repère. Dans mon repère fixé, $\pi - \theta$ représente la colatitude. Le point B est le symétrique de C par rapport à l'axe Az. Donc je peux déduire son vecteur position de celui de C par la transformation $\phi$ --> $\pi +\phi$ .
Je trouve les expressions suivantes:
$\vec {AC}=l(-cos(\theta ) \vec {e_z}+ sin(\theta )(cos (\phi) \vec {e_x}+ sin( \phi )\vec {e_y}))$ et $\vec {AB}=l(-cos(\theta ) \vec {e_z}+ sin(\theta )(-cos (\phi) \vec {e_x}-sin( \phi )\vec {e_y}))$

Moment cinétique

Posté par re : Moment cinétique 18-09-23 à 09:55

Ah j'ai confondu les notations. C'est plutôt AB et AD aux places respectives de AC et AB.

Posté par re : Moment cinétique 18-09-23 à 10:53

Le moment cinétique en A du collier C s'écrit :

$\overrightarrow{L_{C/A}}=m_{C}.\overrightarrow{AC}\wedge\overrightarrow{V_{C}}=\overrightarrow{0}$

car les deux vecteurs sont colinéaires à chaque instant.

Reste à calculer la vitesse de D. Il est évident, par raison de symétrie, que les moments cinétiques de B et de D sont égaux. Tu peux définir un vecteur unitaire $\overrightarrow{e_{\theta}}$ appartenant au plan de figure tel que $\overrightarrow{e_{\theta}}$ orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ . De façon immédiate :

$\overrightarrow{V_{B}}=a.\dot{\theta}.\overrightarrow{e_{\theta}}-a.\sin\left(\theta\right).\dot{\varphi}.\overrightarrow{e_{x}}$

si $\overrightarrow{e_{x}}$ est le vecteur unitaire perpendiculaire au plan contenant (ABCD). Tu calcules alors le moment cinétique de B en A. Reste à exprimer ensuite $\overrightarrow{e_{\theta}}$ en fonction de $\overrightarrow{e_{x}}$ et de $\overrightarrow{e_{z}}$ .

Posté par re : Moment cinétique 18-09-23 à 11:48

Merci Vanoise.

Posté par re : Moment cinétique 18-09-23 à 12:39

Réflexion faite, une fois calculées les vitesses de B et D, il peut être intéressant de définir le moment cinétique total en A :

$\overrightarrow{L_{A}}=m.\left(\overrightarrow{OB}\wedge\overrightarrow{V_{B}}+\overrightarrow{OD}\wedge\overrightarrow{V_{D}}\right)$

Compte tenu des symétries du dispositif, des simplifications sont possibles.

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