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Moment cinétique

Posté par
Mathieu95670 27-03-17 à 21:12

Bonjour a tous et merci de votre attention.

J'ai un problème avec un exercice de mécanique du solide :
L'idée c'est que l'on a une tige d'épaisseur négligeable posé verticalement et attaché a l'extrémité inférieur (de tel sorte que seul le haut puisse bougé), un système d'axe (O,x,y,z) avec z vers le haut et µ l'angle entre z et la tige, la tige subi une léger perturbation elle tombe et on doit trouver L'ED du mouvement (sur µ).
J'ai commencé par la :
(M: masse de la tige, V: vitesse du centre de masse, Li : moment cinétique par rapport a i, G: position du Centre de masse)
$\vec{L_{0}}=\vec{OG}\wedge M\vec{V}}+\vec{L_{G}}$
(formule de Koneig)
$\frac{d\vec{L_{0}}}{dt}=I_{O}\frac{d\vec{w}}{dt}=\vec{OG}\wedge \vec{P_{oids}}+\frac{d\vec{L_{G}}}{dt}$

et la je sais pas comment calculer $L_{G}$ . tout le reste c bon ... (enfin si je me suis pas tromper ^^').

si quelqu'un pourrais m'éclairer, merci a vous
Bonne soiré.

Posté par re : Moment cinétique 27-03-17 à 21:28

Bonsoir
Sous réserve d'avoir bien compris la situation en absence de schéma, je pense inutile le recours au théorème de Koenig. Il suffit d'appliquer le théorème du moment cinétique à la tige considérée comme un solide mobile autour d'un axe fixe d'un référentiel galiléen passant par son extrémité inférieure. Il faut connaître l'expression du moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe de rotation.

Posté par re : Moment cinétique 27-03-17 à 21:47

En effet, merci beaucoup je viens de comprendre mon problème.
PS : Cela veut dire que [tex]L_{G}[\tex]=0 ? car en prenant le point O comme référence je trouve pareil mais sans [\tex]L_{G}[tex]

Posté par re : Moment cinétique 27-03-17 à 21:48

** $L_{G}=0$

Posté par re : Moment cinétique 27-03-17 à 23:34

Je passe sur les précisions d'usage : repère, système, inventaire des actions extérieures : tu domines sûrement...
En revanche, je me demande si tu n'as pas un problème avec le théorème de Koenig : je ne suis pas sûr que tu ais bien compris la notion de moment cinétique barycentrique...
Comme déjà dit, je peux m'en passer en appliquant directement à la tige de masse m et de longueur L le théorème du moment cinétique en O dans le repère galiléen (Ox,y,z) .

$\frac{d\overrightarrow{L_{O}}}{dt}=I_{Oy}.\ddot{\theta}.\overrightarrow{U_{y}}=\overrightarrow{OG}\wedge m.\overrightarrow{g}$
Soit :

$\frac{m.L^{2}}{3}.\ddot{\theta}=\frac{L}{2}.m.g.\sin\left(\theta\right)\quad soit\quad\ddot{\theta}=\frac{3g}{2L}.\sin\left(\theta\right)$
Le moment cinétique de la tige en O peut aussi s'obtenir par le théorème de Koenig :

$\overrightarrow{L_{O}}=m.\overrightarrow{OG}\wedge\overrightarrow{V_{(G)}}+\overrightarrow{L_{G}*}$

$\overrightarrow{L_{G}*}$ est le moment cinétique en G dans le repère R mais il s'agit aussi du moment cinétique barycentrique, c'est à dire du moment cinétique de la tige mesuré dans le repère (G,x,y,z). Dans ce repère, la tige tourne autour de l'axe (G,y) à la vitesse angulaire $\dot{\theta}$ :

$\overrightarrow{L_{G}*}=I_{Gy}.\dot{\theta}.\overrightarrow{U_{y}}=\frac{m.L^{2}}{12}.\dot{\theta}.\overrightarrow{U_{y}}$
On obtient bien :

$\overrightarrow{L_{O}}=m.\frac{L}{2}.\left(\frac{L}{2}\right).\dot{\theta}.\overrightarrow{U_{y}}+\frac{m.L^{2}}{12}.\dot{\theta}.\overrightarrow{U_{y}}=\frac{m.L^{2}}{3}.\dot{\theta}.\overrightarrow{U_{y}}$
Soit la même chose qu'en considérant directement la tige comme un solide en rotation autour de l'axe (O,y) ! Ce résultat est heureusement cohérent avec le théorème de Huyghens sur la relation entre I_Gy et I_Oy !

Remarque : on peut aussi obtenir l'équation différentielle du mouvement en exprimant l'énergie mécanique de la tige puis en considérant que la dérivée de celle-ci par rapport au temps est nulle à chaque instant.
Évidemment : tout cela sous réserve que la situation corresponde au schéma que j'ai "deviné" et reproduit ci-dessous.

Moment cinétique