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modélisation d'un système hydraulique
Bonjour,
Je voudrais mettre en équation un système hydraulique représenté sur les fichiers ci-joint (la 1ére image est le système qui permet d'étudier le système et la 2éme image le système réel qui me permet de l'expérimenter).
En prenant les équations suivantes :
- débit de vidage : qv = k *h avec h la hauteur d'eau ;
- qe - qv = dV/dt avec : qe le débit de remplissage supposé constant et V le volume d'eau tel que : V = S*h (S surface de la cuve connue).
J'obtiens comme équation : (S/k).dh/dt + h = qe/k soit une équation différentielle du 1er ordre avec comme constante de temps T=S/k et valeur finale H=qe/k.
J'ai ensuite relevé expérimentalement l'évolution de la hauteur h en fonction du temps et j'obtiens la courbe représentée sur la 3éme image.
A l'aide de cette courbe, j'en déduis la cste de temps T et la valeur finale H. J'identifie à l'aide de l'équation k puis le débit qe. Le problème est que la valeur que j'obtiens pour qe est très loin de la valeur que je suis supposé obtenir c'est à dire le débit des 2 pompes : qe = qP1+qP2.
En faisant quelques recherches, j'ai lu que certains utilisé comme expression pour le débit de vidage : qv = k*racine(h) étant donné que la vitesse v du fluide a pour expression v = racine(2gh).
J'obtiens alors comme équation : (S/k).dh/dt + racine(h) = qe/k soit : T.dh/dt + racine(h) = H. Nouveaux problèmes : le 1er est que l'équation différentielle est difficilement ré solvable et le 2éme est que la résolution de cette équation avec un logiciel graphique comme graphmatica donne une courbe exponentielle mais décroissante alors qu'en expérimentation elle est croissante.
Quelqu'un pourrait-il me dire où je commet des erreurs ? Je vous remercie d'avance.
Bonjour,
Pour votre première question je vais me permettre de vous contredire, on peut résoudre cette équation différentielle, on nomme ce genre d'équation, une équation de Bernoulli, regardez plutôt ici :
Une équation de Bernoulli est une équa. diff. du premier ordre qui
s'écrit sous la forme :
Équations de Bernoulli
x'(t) = a(t)x(t) + b(t)x^α(t)
où a(t) et b(t) sont des fonctions données (ou des constantes), et α ≠ 0 et 1, une constante.
Méthode
On pose : y(t) = x^(1 - α)(t)
on obtient une équation linéaire :
y'(t) = (1-α)[ a(t)y(t) + b(t) ]
Pour la deuxième, il se peut que vous vous soyez tromper dans un signe quelconque ou dans la syntaxe.
Je vais vérifier cela dessuite.
Cordialement,
Benjamin.
Re bonjour,
Je pense que le profil que vous devez obtenir
et le résultat est de la forme :
t+15*ln(-25+h(t))+6*sqrt(h(t))-15*ln(5+sqrt(h(t)))+15*ln(sqrt(h(t))-5)+_C1 = 0
Cordialement,
Benjamin
je vous remercie pour votre travail.
Je travaille dessus et je vous donnerais mes résultats.
Encore merci
Starmmav
A première vue l'équation est bien de la forme : T.dh/dt + racine(h) = H soit : T.h'+h^0.5 = H.
Je ne comprend pas comment on peut la mettre sous la forme de l'équation de Bernoulli : x'(t) = a(t)x(t) + b(t)x^α(t) ou je n'ai pas compris la méthode. Pouvez-vous m'expliquer ?
Bonjour,
Essayez de poser et de faire le changement de variable :
Pour H, je pense qu'il va falloir calculer la limite de h(t) en infinie.
Cordialement,
Benjamin
il me semble que l'équation que j'obtiens diffère d'une équation de Bernoulli car j'ai une cste (H) et je n'ai pas termes en h(t).
T.h'+h^0.5 = H.
je pose y = h^0.5 soit : y' = 0.5*h'/h^0.5=0.5*h'/y
je remplace et j'obtiens : T.2.y.y' + y = H
je ne sais pas si cette équation différentielle se résout plus facilement.
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