Inscription / Connexion Nouveau Sujet
modèle sommerfeld densité d'états
Bonjour,
En physique du solide, niveau M1 physique, cet exercice me pose problème, notamment les questions 3.b) et 4.b)
---
Electrons libres dans un système unidimensionnel. Passage de l'atome à la molécule et au cristal
On considère un segment de longueur L le long duquel les électrons sont susceptibles de se mouvoir
librement (V=0). A l'extérieur de ce segment leur énergie potentielle V est infinie (V= ∞ pour x≥ L et x
≤ 0).
1°) Quelle est la forme générale des solutions de l' équation de Schrödinger ? Préciser ces solutions
dans le cas de conditions aux limites fixes. Représenter l'allure des 3 premières fonctions d'onde.
j'ai fait
2°) En déduire la quantification des niveaux d'énergie (cinétique) autorisés. Quelle est l'expression
littérale des 3 premiers niveaux d'énergie distincts soit E1, E2 et E3.
3°) Application au cas de l'atome : L = 3 Å
a) Quelles sont les valeurs numériques (en eV) prises par E1, E2 et E3 ?
b) L'atome a deux électrons libres, quels sont les états occupés par ces électrons ?
c) Quelle énergie minimale doit-on communiquer à l'un de ces électrons pour le faire passer de l'état fondamental au
premier niveau excité ?
a)
b) ici je n'arrive pas à calculer la densité. Selon mon cours et wikipédia 
on devrait avoir (l'énergie est à mettre en Joules dans la formule, pas en eV) :
, mais ça me donne des nombres bien trop grands :
... je comprends pas comment interpréter cette densité.
c) Pour les énergies minimales, pour faire passer de E1 à E2, on doit mettre l'énergie (E2-E1) au système ? Et pour E2 vers E3, on doit mettre (E3-E2) ? Ca semble logique mais j'ai un doute
4°) Application au cas de la molécule L= 15 Å
a) Quelles sont les valeurs numériques (en eV) prises par E1, E2 et E3 ?
b) La formule de la molécule pourrait être : H2C .. CH - CH .. CH2 dans laquelle le symbole .. représente
l'existence d'un électron Π susceptible de se propager librement le long de la molécule. Quels sont les
états occupés par les électrons Π ?
c) Quelle énergie minimale doit-on communiquer à l'un de ces
électrons pour le faire passer de l'état fondamental à l'état excité ?
a)
b) Je ne comprends pas bien ce qui est demandé... il s'agit de calculer les densités pour chaque énergie ? Il n'y a que deux électrons pour toute la molécule ?
Ensuite il a des questions concernant le cristal mais ça ferait un peu long je les mettrai après si besoin.
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour,
En fait je ne vois pas quels arguments invoquer pour répondre...
Selon le principe d'exclusion de Pauli, on pourrait avoir deux électrons sur E1 (un en spin 1/2 et un autre en spin -1/2), ou encore on pourrait avoir un électron sur E1 et un autre sur E2, n'est-ce pas ?
Donc les deux électrons sont bien sur E1, avec chacun un spin différent.
Si je comprends bien, on ne peut jamais avoir plus de deux électrons sur un seul état d'énergie discret ?
C'est le principe d'exclusion de Pauli (fermion).
Ici (contrairement aux atomes) il n' y a que deux nombres quantiques (n et le spin).
D'accord, merci.
Et pour 4.c), on peut seulement dire que les électrons occupent eux aussi tous deux l'état E1, rien de plus ?
D'accord merci.
La question suivante me bloque encore 
la voici :
---
5°) Application au cas d'un cristal : L=3 mm
Quelles sont les valeurs numériques (en eV) prises par E1, E2 et E3 ?
je calcule :
La rangée d'atomes est constituée d'atomes identiques et divalents (2 électrons/atome) équidistants de a = 3 Å. Le remplissage des niveaux d'énergies des électrons s'effectue en commençant par celles qui correspondent aux énergies les plus basses.
a) En sachant qu'un niveau d'énergie ne peut contenir que deux électrons (un spin up et down), combien de niveaux d'énergie sont occupés dans l'état fondamental (à T=0) ?
donc on électrons... mais on ne peut avoir que deux électrons par état occupé... on a E1 E2 E3 pour chaque atome ou pour l'ensemble du cristal au global ? Si c'est E1 E2 E3 pour chaque atome, donc les deux e- de chaque atome sont tous en E1 avec un spin opposé ? Mais au final ça ferait qu'on aurait
états ?...
b) Quelle est l'énergie EF du dernier niveau occupé ?
c) Comparez cette énergie avec celle d'un gaz d'électrons équivalent.
d) Représenter la courbe de dispersion des électrons libres dans le cas des conditions aux limites fixes.
Evaluer numériquement kF et EF ainsi que les énergie minimale δE permettant de faire passer un
électron du dernier état fondamental au premier état excité.
Vous avez calculé vos énergies en prenant la longueur de 3mm, donc tous les atomes. Donc il faut mettre les électrons 2 par 2 (spin, mais comme il y a deux e- par atome, le 2 va disparaitre ) dans les états E1, E2, ... En jusqu'à arriver à caser tous les électrons. Ce qui répond à la fois à a) et b).
Selon moi il y a e-, et que 3 niveaux, donc on ne peut en mettre que 6, deux par niveau. Je sais que c'est faux mais je ne vois pas pourquoi, je ne comprends pas
Je pensais qu'il n'y avait que E1 E2 E3 pour tout le cristal...
Mais même en admettant qu'il y a trois niveaux par atome dans le cristal, on aurait les deux électrons de chaque atome qui se mettraient sur E1, et E2 ne serait pas occupé... comme sur le schéma ci-joint, n'est-ce pas ?
Oui, c'est correct, mais ce que vous décrivez c'est un gaz (chaque atome indépendant) et la longueur caractéristique est dans ce cas la dimension de l'atome donc 1nm : autrement dit vous traitez N fois la question 2.
Ici on a un cristal, l'électron peut se promener sur les 3 mm.
Oui, c'est correct, mais ce que vous décrivez c'est un gaz (chaque atome indépendant) et la longueur caractéristique est dans ce cas la dimension de l'atome donc 1nm : autrement dit vous traitez N fois la question 2.
Ici on a un cristal, l'électron peut se promener sur les 3 mm.
D'accord mais je ne vois pas bien la différence entre gaz et cristal ? Même si les électrons peuvent passer d'un atome à l'autre, pourquoi se trouveraient-ils en E2 ? Le fait que l'électron passe d'un atome à un autre ne devrait pas lui faire gagner de l'énergie... ?
La différence entre gaz et cristal est dans le gaz les électrons restent dans l'atome donc la longueur caractéristique est de 3 Å, alors que dans le cristal celle-ci est de 3 mm. Comparer du cuivre vapeur à du cuivre solide.
Je ne comprends pas trop : "pourquoi se trouveraient-ils en E2 ?" : ils ne peuvent pas faire autrement (Pauli) : on ne peut mettre N=107 électrons dans E1 qui ne peut en contenir que 2.
Peut-être pour préciser : l'étude concerne le cristal pas les atomes qui ne sont là que pour fournir les électrons ; on est dans un modèle ultra simpliste : V=0 partout, la présence des atomes ou plutôt des ions (après pertes des deux électrons) va bien sûr générer un V(x).
"pourquoi se trouveraient-ils en E2 ?" : ils ne peuvent pas faire autrement (Pauli) : on ne peut mettre N=107 électrons dans E1 qui ne peut en contenir que 2.
D'accord, E1 ne peut contenir que deux électrons, E2 aussi, E3 aussi, donc on ne peut mettre que 6 électrons... mais on en a N=107 à placer ! Où vont les 107-6 autres ?
Encore une fois, pourquoi vous limitez vous aux trois premiers niveaux ?
Dans , la seule chose demandée à n est qu'il soit entier, pourquoi vous limiter à n= 1 2 3 ?
... Ah oui mince c'est vrai. Comme on ne parle que des 3 premiers pendant tout l'exercice... j'étais en effet confus. Désolé
Du coup on a états
, et le dernier état occupé
.
Pour 5)c) il est demandé de comparer avec un "gaz d'électrons équivalent"... c'est donc ce qu'on disait avant, dans un gaz les électrons ne peuvent pas bouger de leur atome, donc l'énergie de Fermi d'un gaz équivalent serait ? Ce qui voudrait dire que l'énergie d'un cristal est énormément supérieure à celle d'un gaz
Le texte parle bien d'un gaz d'électrons, pas d'un gaz d'atomes.
Ceci étant, votre modèle est un gaz d'électrons, donc je ne comprends pas trop. Avez-vous vu dans votre cours ou un TD un autre gaz d'électrons ?
J'ai mis une capture du cours... mais je pense bien que ça parle d'un cristal et pas d'un gaz. Mais je ne suis pas certain car le cours est très décousu :/
En gros mon cours ressemble beaucoup au contenu de celui-ci : (probablement car ils sont basés sur le même livre)
Mais ça parle très peu du pur "gaz d'électrons" ??
Annuler
connectez vous