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modéle de yukawa de l'atome d'hydrogéne en physique
bonsoir
jé cette exercice é jé pa su comment le résoudre pouvez vous maider svp
l'énoncé: on définit le potentiel V(r) en tou point M de l'espace(vect(OM)=vect(r))
V(r) =[e.exp(-r/a0)]/(4
0r)
ou a0 est une constante positive homogéne a une distance.on se propose de déerminer la distribution de charge qui crée ce potentiel.
1)determiner le champ électrostatique vect(E) en tou point de l'éspace.
2)calculer en utilisant le théoréme de Gauss la charge q(r) contenue dans une sphére de centre o et de rayon r .
3)en déduire en faisant tendre r vers 0 ou vers 
- la charge totalQ contenue dans tou l'éspace
- qu'io y a en o une charge ponctuelle que l'on déterminera
pouvez vous m'aidez
merci d'avance
Bonjour, si je me souviens bien...
Q1) Champ électrostatique
Comme , il te faut dériver V par rapport à l'espace, soit ici, par rapport à r => E = -dV/dr
Et comme c'est le type classique de champ créé par une sphère chargée (noyau), alors E est radial, c'est-à-dire orienté selon
Q2) Th. de Gauss sous sa forme intégrale, au travers une surface S, fermée
Comme on prend comme surface S une sphère de surface 4r², une sphère de centre O, de rayon r, tel que, à l'intérieur, on a une distribution du nuage électronique q(r)
On a donc :
E
4r² = q(r)/0
Comme on connaît E de la Q1, on en déduit donc q(r) = ...
Q3) Limites de q(r)
Si tu fais tendre r vers 0, tu devrais retomber (en approximant, ou par étude de limite, ou par équivalence, ou par développement limité) sur la charge ponctuelle au centre, c'est-à-dire sur le noyau protonique, de charge q = (+e)
Si tu fais r 
, tu fait tendre q(r) vers 0 ce qui montre qu'un atome est électriquement neutre, composé d'un centre q=(+e) et d'un nuage de charge globale q=(-e)
Je te laisse faire les calculs ! 
- sauf erreur de ma part -
miciiiiiiiiii
sayé j'ai fait cette parti et j'ai bien trouvé des résultats logiques
mais maintenant et ces dan le méme exercice j'ai pas pu terminer ces questions
4)montrer qu'en plus de la charge ponctuelle en o, il existe une distribution volumique de charges 
(r) non-uniforme, que l'on déterminera
mici encore une fois
miciiiiiiiiii
sayé j'ai fait cette parti et j'ai bien trouvé des résultats logiques
mais maintenant et ces dan le méme exercice j'ai pas pu terminer ces questions
4)montrer qu'en plus de la charge ponctuelle en o, il existe une distribution volumique de charges (r) non-uniforme, que l'on déterminera
5)montrer,en appliquant le théoréme de Gauss au volume compris entre deux sphéres concentriques de rayons r et r+dr que (r) s'écrit sous la forme:
(r)=.(1/r²).[d(r²E(r))/dr]
E(r) etant le module du champ electrostatique sur la surface sphérique de centre o rayon r
6) vue la symétrie sphérique de V(r) et de (r) on désigne par dq la charge élémentaire cpntenue dans l'élément de volume d
compris entre les sphéres concentriques de centre o et de rayon r et r+dr.
montrer que l'xpression dq/dr passe par un maximum pour une centaine valeur de r que l'on déterminera.
donner alors une interprétation physique de ce résultat.
on donne 1/(4)=9.(10^9) SI , e = 1,6.(10^(-19)) , a=0.53 A
mici encore une fois
Alors, je me suis embrouillé dans les calculs et les raisonnements... Je vais aller faire mon ménage et je réfléchis à la question plus tard (sauf si quelqu'un d'autre passe par là... )
Voici comment je conçois la question IV)
J'ai une fonction
q(r) = e.(1 + r/a0).exp(-r/a0)
(On conseille aux étudiants de présenter sous cette forme pour faciliter de lecture, d'étude et d'analyse dimensionnelle)
Qui tend bien vers (+e) si r 0.
Qui tend bien vers 0 si r
(parce qu'en l'infini, q(r) ~ e.(r/a0).exp(-r/a0) = e.X.exp(-X) = e.X/exp(X) 0 car exp(X) croit plus vite que la fonction puissance, Voir formulaire de maths Tle)
Si je décompose :
q(r) = e.exp(-r/a0) + e.(r/a0).exp(-r/a0) = [ Q0 + Q(r) ]exp(-r/a0)
C'est à dire, on a la somme
- d'un terme Q0 = e (constant) qui correspond à la charge ponctuelle en O
- d'un second terme Q(r) = Q0(r/a0) (donc non constant) qui correspond à la charge du nuage
Comme cette masse volumique n'est pas constant, la charge du nuage n'est pas répartie uniformément puisqu'elle dépend de r, d'où une distribution volumique (r) non uniforme (au facteur 'volume' près...)
Je réfléchis ultérieurement pour la suite
je te remercie fort! vraiment tu m'a bien aidée
jattend l'explication du reste é je m'excuse pour pour le dérangement
mici
je m'excuse pour pour le dérangement
Pas de soucis, ça m'a changé les idées... J'ai pu y voir plus clair, notamment en revoyant des trucs sur Internet...
Bon, oublie mon idée d'avant, je n'avais pas bien compris la question, c'est juste mais ce n'est pas ce que l'on demande...
et d'ailleurs, je pense que j'ai dit des bêtises sur l'uniformité de la charge volumique...
C'est en résolvant les questions suivantes que j'ai compris ce qu'on demandait à la Q4).
A la Q4, on demande d'exprimer
(r) de manière globale (sinon, ça ne colle pas avec la Q5)
Q4) Densité de charge
En fait, on part de q(r) = e.(1 + r/a0).exp(-r/a0)
Comme la densité volumique
(r) = dq(r) / d avec d = Sdr = 4r².dr
On a donc
(r) = 1/(4r²).dq/dr
On dérive donc q(r) par rapport à r et en divisant par (4
r²), en réordonnant, simplifiant, on obtient l'expression suivante :
(Je t'épargne les calculs, sans intérêt, on va dire...
(r) = (-e)/(4.a0².r)exp(-r/a0)
On peut remarquer que
(r) < 0... Je sais que ceci permet d'expliquer la distribution des charges mais je ne vois plus comment, désolé...
Q5) En fonction de E(r)
Il faut relier le champ E(r) à
(r)
A partir du th. de Gauss sous forme infinitésimale entre r et (r+dr)
(variation infinitésimale parce E n'est pas constant entre r et r+dr d'où le dE)
0dE S = Qintérieur = (r).d = (r).Sdr
ainsi, on a l'égalité suivante :
(r) = 0dE/dr
Mais dériver E(r) (produit de trois termes), c'est pas facile, surtout pour identifier une dérivée de r².E(r)...
On va procéder à l'envers, on va dériver r².E(r) qui est plus simple...
En faisant cela, tu montres alors plus facilement que
0/r²d(r².E)/dr = (r) d'où la conclusion...
Q6) Maximum de la fonction
On veut montrer que dq/dr passe par un maximum...
D'abord, je dériverai q(r) par rapport à r pour obtenir sa dérivée.
Ensuite, j'étudierai et représenterai (sans soucis d'échelle) les variations de dq/dr (à l'aide d'un tableau de variations Cf. Tle)
Ceci montrera élégamment que cette fonction passe bien par un maximum.
Ce maximum sera atteint quand la dérivée de dq/dr sera nulle, c'est à dire :
d( dq/dr ) = 0 <=> ... calculs ... <=> r = a0
(ça se dérive tout seul !
)
Voilà ! Bonne soirée !
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