Bonjour, je bloque dans l'exercice suivant :

Supposons qu'un atome d'hydrogène soit constitué d'un électron ponctuel noté N, de masse m et de charge q_N=-e évoluant dans un nuage sphérique, de centre P, de rayon a et dont la charge totale q_P=+e est répartie dans cette sphère avec une densité volumique de charge uniforme. L'électron peut se mouvoir sans frottement à l'intérieur du nuage. La masse M de ce nuage étant très supérieure à celle de l'électron, on peut supposer P fixe dans le référentiel galiléen d'observation ; N est mobile et repéré par son vecteur position r=PN (les caractère en gras sont des vecteurs).

a) Déterminer le champ électrostatique E(N) créé par le nuage positif en N, en fonction de e, a, ₀(permitivité du vide) et r. On suppose que l'électron reste à l'intérieur du nuage.

b) Montrer que le mouvement de l'électron dans ce champ est associé à une fréquence f₀ que l'on exprimera en fonction de m, e, a, ₀.

Pour la première question j'ai trouvé E(N)=r (mais je pense que c'est faux parce que d'après l'énoncé il y a du "a" dans la réponse) :

J'ai utilisé le théorème de Gauss après les invariances et symétries :

parce que E(r) et dS sont colinéaires et que r est constant donc E(r) est uniforme. Et,
et en simplifiant on obtient ce que j'ai mis au dessus.

Et pour la b) je bloque, j'ai pensé à faire un PFD que j'aurais intégré deux fois avec comme seule force F=E mais ça donnerait absolument pas un résultat périodique.

Merci d'avance pour votre aide.