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Modèle de satellite en haltère

Posté par
FFLucas 13-03-25 à 06:35

Bonjour, j'ai des difficultés à résoudre un problème de mécanique que voici:

Nous supposons un satellite en orbite composé d'une tige rigide de longueur 2d de masse négligeable avec, aux extrémités, deux masses (m). Le centre de masse est P.
Nous supposons qu'il orbite un corp C, de masse M à une distance r. Nous supposons d<<r et m<<M.

1) En supposant que la tige est parallèle à la direction radiale (\theta=0). Calculer les forces F_A et F_B s'exerçantes sur la tige.


On appelle A la masse la plus proche de C, étant donné que la masse A reste à l'équilibre à r-d,
\vec{F}_{g,A} - \vec{F}_A + m\omega^2 (\vec{r}-\vec{d}) = 0
Ici F_A correspond à la tension qu'exerce la masse A sur la tige (d'ou le signe -).
On a donc:
\vec{F}_A = \vec{F}_{g,A} + m\omega^2 (\vec{r}-\vec{d})  
\implies -\frac{GMm}{(r-d)^3} (\vec{r}-\vec{d}) + m\omega^2 (\vec{r}-\vec{d})  

De plus, de part le mouvement du centre de masse, nous trouvons facilement \omega^2=\frac{GM}{r^3}.

\implies -\frac{GMm}{(r-d)^3} (\vec{r}-\vec{d}) + \frac{GMm}{r^3} (\vec{r}-\vec{d})  

Pour simplifier, projetons sur la direction radiale (CP)

\implies -\frac{GMm}{(r-d)^2}  + \frac{GMm}{r^3} (r-d)

Appliquons un développement limité à l'ordre 1 sur le dénominateur.

\implies -\frac{GMm(1+\frac{2d}{r})}{r^2}  + \frac{GMm}{r^3} (r-d)

Donc:
F_A = -3\frac{GMmd}{r^3}

Similairement pour B:

F_B = \frac{3GMmd}{r^3}

Déjà j'aimerais savoir si cela est juste ?


2) Maintenant la tige fait un angle theta avec la direction radiale. Calculer le moment de la force.


Si je ne me trompes pas, nous avons \vec{r}_A= (r - d\cos{\theta})\hat{r} - d\sin{\theta} \hat{\phi}

La norme de ce vecteur est donc:

|\vec{r}_A|^2=r^2+d^2-2dr \cos{\theta}

Maintenant je ne sais pas trop quoi faire pour calculer le moment de la force, devrais-je prendre en compte la force centrifuge comme précédemment ? ou uniquement la force gravitationnelle ? J'ai trouvé des ouvrages de mécanique spatiale dans ces derniers ils ont un problème similaire mais avec une structure plus générale qu'une haltère et ils ne prennent pas en compte la force centrifuge, cependant cela me parait bizarre car les masses sont bien soumises à une "force" allant dans l'autre direction de part la rotation au tour de C.


Modèle de satellite en haltère

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 12:26

Bonjour,

Pourquoi voulez-vous changer de méthode ? C'est rigoureusement le même calcul, la différence étant la distance entre la trajectoire de A et de P et la direction des forces par rapport à la tige.

Ceci étant, le texte n'est quand même pas très précis : pour ce qui est de 1, vous avez du supposer que A est à l'équilibre, ce qui n'est pas indiqué par le texte, mais qui est éventuellement possible pour la question 1 (qui est une position d'équilibre), mais qui devient acrobatique pour la question 2.
Dit autrement, la force FA dépend du mouvement relatif de A par rapport à P.

Ce qui serait plus simple serait de calculer la résultante des forces gravitationnelles et d'inertie dans le référentiel tournant d'origine P sur A et B (qui correspond à votre calcul mais FA n'est pas la force subie par la tige dans le cas général)

Pour ce qui est des ouvrages consultés, il faudrait indiquer un lien, mais s'ils font l'étude dans le référentiel géocentrique, il n'y a pas de forces d'inertie.

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 12:55


gts2 @ 13-03-2025 à 12:26

Bonjour,

Pourquoi voulez-vous changer de méthode ? C'est rigoureusement le même calcul, la différence étant la distance entre la trajectoire de A et de P et la direction des forces par rapport à la tige.

Ceci étant, le texte n'est quand même pas très précis : pour ce qui est de 1, vous avez du supposer que A est à l'équilibre, ce qui n'est pas indiqué par le texte, mais qui est éventuellement possible pour la question 1 (qui est une position d'équilibre), mais qui devient acrobatique pour la question 2.
Dit autrement, la force FA dépend du mouvement relatif de A par rapport à P.

Ce qui serait plus simple serait de calculer la résultante des forces gravitationnelles et d'inertie dans le référentiel tournant d'origine P sur A et B (qui correspond à votre calcul mais FA n'est pas la force subie par la tige dans le cas général)

Pour ce qui est des ouvrages consultés, il faudrait indiquer un lien, mais s'ils font l'étude dans le référentiel géocentrique, il n'y a pas de forces d'inertie.



Bonjour,

Merci de la réponse, pour ce qui est de l'énoncé, c'est parce que je me suis mal exprimé, ce n'est pas vraiment que la masse A est à l'équilibre mais qu'étant donné que le satellite est bloqué dans son alignement (\theta=0) et qu'il est toujours à une distance r de la planète, alors forcément A est toujours à r-d.

Ensuite, le problème que j'ai vient plutôt d'une mauvaise compréhension, je dirais.

Si je travaillais dans le référentiel inertiel géocentrique par exemple, pour la question 1, j'aurais (pour A) :

\sum \vec{F} = m\vec{a}

\implies   -\vec{F}_A + \vec{F}_{g,A} = -\frac{mv^2}{r_A}

Avec bien sûr,  

\vec{F}_{g,A}= - \frac{GMm}{r_A^2} \hat{r}_A

Ce qui est strictement identique à la force ressentie dans le référentiel non inertiel si je ne me trompe pas. Cependant, pour le calcul du moment de la force, comme je l'ai mentionné, d'autres sources comme un livre (je ne suis pas sûr d'avoir le droit de donner un lien vers un PDF, donc je donne plutôt une vidéo YouTube faisant la même preuve : https://youtu.be/Duhmy4Z2hzU). Et comme on peut le voir, il ne prend en compte que la force gravitationnelle et non pas \vec{F}_A , par exemple.

Aussi, pourriez-vous élaborer un peu sur pourquoi \vec{F}_A ne serait pas la force ressentie par la tige dans le cas général ?

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 14:20

Pour ce qui est de la force FA, on a simplement \vec{F_g}-\vec{F_A}+\vec{F_i}=m\vec{a}=-d(\dot{\theta})^2\vec{e_\rho}+d\ddot{\theta} \vec{e_\theta} qui donne bien votre résultat uniquement si θ(t)=0, qui ne peut être obtenu qu'à l'équilibre (sinon comment bloque-t-on le satellite ?)

Que vous fassiez le calcul dans le référentiel géocentrique ou non ne change pas FA, c'est tout à fait normal, cela fait partie des principes de la mécanique.

Si vous ne donnez pas de lien textuel, je veux bien essayer de regarder la video, mais je trouve cela assez difficile à suivre contrairement à un texte où l'on peut passer d'un paragraphe à un autre de manière simple.

Si vous tenez à suivre votre texte, le calcul va être moins simple puisqu'il va falloir tenir compte du terme d\ddot{\theta} \vec{e_\theta}.

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 14:45

gts2 @ 13-03-2025 à 14:20

Pour ce qui est de la force FA, on a simplement \vec{F_g}-\vec{F_A}+\vec{F_i}=m\vec{a}=-d(\dot{\theta})^2\vec{e_\rho}+d\ddot{\theta} \vec{e_\theta} qui donne bien votre résultat uniquement si θ(t)=0, qui ne peut être obtenu qu'à l'équilibre (sinon comment bloque-t-on le satellite ?)

Que vous fassiez le calcul dans le référentiel géocentrique ou non ne change pas FA, c'est tout à fait normal, cela fait partie des principes de la mécanique.

Si vous ne donnez pas de lien textuel, je veux bien essayer de regarder la video, mais je trouve cela assez difficile à suivre contrairement à un texte où l'on peut passer d'un paragraphe à un autre de manière simple.

Si vous tenez à suivre votre texte, le calcul va être moins simple puisqu'il va falloir tenir compte du terme d\ddot{\theta} \vec{e_\theta}.

Voici le lien dont je parlais (P. 530) :
Cependant je ne suis pas sur de comprendre votre accélération, pourquoi y a t-il des d je pensais que nous attachions le repère polaire au centre de masse (comme sur le schéma ci-dessous) ?

Le fait est que j'ai du mal à voir les prochaines étapes et que je ne sais pas vraiment comment aborder ce problème ni quelle serait la méthode la plus optimale pour le faire.

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 14:46

Edit: J'avais oublié de cliquer sur "attacher"

Modèle de satellite en haltère

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 15:55

Pour ce qui des accélérations, je n'avais en effet pas défini explicitement mes vecteurs unitaires. Voir ci-dessous.

p. 530 sqq, le calcul est bien fait dans un référentiel galiléen et le cas traité en bas de la p 533 est relative à la question 1 avec ωy=n (orbit).

Pour la 2, vous faites le même calcul que pour 1, ll y a deux différences la distance entre "l'orbite de A" et l'orbite de P est d \cos \theta, donc il suffit de remplacer d par  d \cos \theta ; et deuxième différence si vous tenez à suivre votre texte, il faut prendre en compte l'accélération de A dans le mouvement autour de P.  Mais, de nouveau, cette force FA complique les choses plutôt qu'elle ne les simplifie et il est plus simple de calculer uniquement forces de gravitation + inertie. De quel moment (de quelle force, par rapport à quel point) est-il  précisément question (le texte manque de précision) ? Si on calcule le moment résultant sur le satellite c'est beaucoup plus simple et on peut oublier FA.

Si on avait la question suivante, cela pourrait s'éclaircir.

Modèle de satellite en haltère

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 16:09

Voici l'énoncé d'origine que j'ai traduit. Il était en japonais à la base, et je l'ai traduit entièrement mot pour mot cette fois ci.

Citation :
On considère la stabilité directionnelle d'un satellite artificiel allongé équipé d'un télescope à l'aide du modèle suivant. Comme indiqué sur la figure 1, le centre de masse d'un objet constitué d'une barre rigide de longueur 2d, aux extrémités de laquelle sont fixées deux masses ponctuelles A et B de même masse m, effectue un mouvement circulaire uniforme de rayon r autour d'une masse ponctuelle C de masse M (un astre).  

Ici, aucune force extérieure autre que la gravité de C n'agit sur l'objet, et on suppose que M \gg m, r \gg d, et que la masse de la barre rigide est négligeable. De plus, on note G la constante de gravitation universelle.  

(1) Lorsque l'axe longitudinal de l'objet (la direction de la barre rigide) est constamment orienté vers l'astre C comme illustré sur la figure 1, déterminer la magnitude et la direction des forces F_A et F_B exercées respectivement sur la barre rigide par les masses ponctuelles A et B.  

(2) Lorsque l'angle entre l'axe longitudinal de l'objet et la ligne reliant l'astre C et le centre de masse P de l'objet est \theta (voir figure 2), déterminer le moment des forces agissant sur l'objet.  

(3) Écrire l'équation du mouvement pour la rotation de l'objet autour d'un axe passant par P et parallèle à l'axe de révolution, en fonction de l'angle \theta du point précédent.  

(4) En supposant que \theta est petit, déterminer la solution générale de l'équation du mouvement obtenue à la question précédente.  

(5) On suppose que l'objet maintient son axe longitudinal constamment orienté vers C. À l'instant t = 0, un couple infinitésimal agit instantanément sur l'objet, générant un petit moment cinétique parallèle au moment cinétique orbital. Décrire qualitativement le mouvement ultérieur de l'objet.



Et merci pour l'éclaircissement, je comprends mieux la situation au niveau du repère.
Cependant, j'ai du mal à cerner le problème que vous décrivez par rapport à l'acceleration ?


Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 16:19

L'accélération n'est pas un problème, c'est juste que vous faites un calcul inutile. La question 2 demande le moment des forces agissant sur l'objet, donc vous n'avez pas besoin de FA (force interne) mais uniquement des forces de gravitation et d'inertie et, encore une fois, c'est rigoureusement le même calcul que 1 (d \to d\cos \theta).

Le texte dit bien "constamment orienté" donc θ(t)=0 et votre 1 est donc correct.

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 16:50

Donc, je peux calculer exactement de la même manière? par exemple la force totale sur la masse A:

\vec{F}_{TOT}=\vec{F}_g + \vec{F}_c
On a:
\vec{r}_A= (r - d\cos{\theta})\hat{r} - d\sin{\theta} \hat{\phi}

La norme de ce vecteur est donc:

|\vec{r}_A|^2=r^2+d^2-2dr \cos{\theta}

\implies \vec{F}_{TOT}=-(\frac{GMm}{(r^2+d^2-2dr \cos{\theta})^{3/2}} + \frac{GMm}{r^3}) ((r - d\cos{\theta})\hat{r} - d\sin{\theta} \hat{\phi} )

En faisant à nouveau un développement limité et en simplifiant:

\implies \vec{F}_{TOT}=-\frac{3GMmd\cos{\theta}}{r^4} ((r - d\cos{\theta})\hat{r} - d\sin{\theta} \hat{\phi} )

Est-ce correcte ?

Cela impliquerait donc une contribution de:

\tau = \frac{3d^2GMm}{r^3} \cos{\theta} \sin{\theta} ?

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 17:37

C'est correct :

\vec{F}_{TOT}=-\frac{3GMmd\cos{\theta}}{r^4} ((r - d\cos{\theta})\hat{r} - d\sin{\theta} \hat{\phi} )=-\frac{3GMmd\cos{\theta}}{r^4}\vec{r_A}
On a bien la même chose que 1 à d \to d\cos \theta près.

\tau = \frac{3d^2GMm}{r^3} \cos{\theta} \sin{\theta} ?
OK au signe près ce qui se voit sur la figure pour φ>0, le moment est négatif.


Modèle de satellite en haltère

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 17:40

Excusez-moi : correction : pour θ>0

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 17:44

D'accord, merci beaucoup, je comprends mieux.

Juste pour bien commencer la question 3, quel théorème / quelle méthode devrais-je utiliser ?

Bonne fin d'après-midi à vous.

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 13-03-25 à 17:57

Pour la 3, cela tourne autour d'un axe, on connait le moment, donc théorème du moment cinétique scalaire.

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 14-03-25 à 06:30

Juste, je voulais encore m'assurer d'une chose, pour appliquer le théorème du moment d'inertie, n'y a t-il pas des effets secondaires de s'être placé dans un référentiel non-inertiel ?

Par ça, je veux dire par exemple un "pseudo moment de force":

\\ \mathbf{I} \dot{\boldsymbol{\omega}} + \boldsymbol{\omega} \times \bigl(\mathbf{I}\,\boldsymbol{\omega}\bigr) = \boldsymbol{\tau} \\ \\

Sinon, en supposant que je n'ai pas à faire de telles considérations, j'ai:

2md^2 \ddot\theta= \frac{-3d^2GMm}{r^3}\ sin{2\theta}

Donc:

\implies \ddot\theta = \frac{-3GM}{2r^3}\sin{2\theta}

Et pour un petit \theta:


\implies \ddot\theta = \frac{-3GM}{r^3}\theta

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 14-03-25 à 06:43

Je ne comprends pas trop pour le théorème du moment d'inertie : dans un référentiel non galiléen, c'est la même chose que dans un galiléen, sauf qu'il faut tenir compte des forces d'inertie (il faudrait d'ailleurs justifier que la force de Coriolis n'apparait pas).

L'équation finale est correcte.

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 14-03-25 à 07:54

Donc si j'ai pris en compte les forces inertielles je peux traiter le référentiel comme un référentiel inertiel peut importe la loi que j'applique ?

Aussi, je me demandais. Au final ne serait t-il pas plus simple de calculer le moment dans le référentiel inertiel ? ça permettrait de prendre uniquement en compte la gravité non? Je ne vois pas vraiment ou le moment circulaire rentrerait en compte en faisant cela ?
(Je pose plutôt cette dernière question pour améliorer mon "intuition" pour être plus à même de résoudre d'autres problèmes à l'avenir)

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 14-03-25 à 08:33

Citation :
Donc si j'ai pris en compte les forces inertielles je peux traiter le référentiel comme un référentiel inertiel peut importe la loi que j'applique ?

C'est le principe même des forces d'inertie : on ajoute des forces pour que les équations aient la même forme.

Citation :
Au final ne serait t-il pas plus simple de calculer le moment dans le référentiel inertiel ?

C'est un problème de point de vue : les équations sont identiques. Prenons l'exemple simple d'un mouvement plan sur un cercle.
Dans le référentiel galiléen, on a \vec{F}=m\vec{a}=-m\Omega^2R\vec{u_r}+mR\frac{d\Omega}{dt}\vec{u_\theta}.
Dans le référentiel tournant, on a \vec{F}+\vec{F_i}=\vec{F}+m\Omega^2R\vec{u_r}-mR\frac{d\Omega}{dt}\vec{u_\theta}=0

Le mouvement circulaire intervient dans l'accélération.

Posté par
FFLucasre : Modèle de satellite en haltère 14-03-25 à 08:56

Mais au moment de calculer le moment de la force, l'accélération ne sera pas prise en compte ?

Donc nous n'aurions pas forcément la même forme pour le moment de la force ?

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 14-03-25 à 10:19

On aura un calcul différent, mais, heureusement, le même résultat :

Calculs à GMm près

\vec{M_P}=\vec{PA}\wedge \frac{-\vec{r_A}}{r_A^3}+\vec{PB}\wedge \frac{-\vec{r_B}}{r_B^3}

\vec{PA}\wedge \vec{r_A}=\vec{PA}\wedge \left(\vec{r_P}+\vec{PA}\right)=\vec{PA}\wedge \vec{r_P}=d\sin \theta \vec{u_z} et \vec{PB}\wedge \vec{r_B}=-\vec{PA}\wedge \vec{r_A}

\vec{M_P}=d\sin \theta \vec{u_z}\left(-\dfrac{1}{r_A^3}+\dfrac{1}{r_B^3}\right)

M_z=d\sin \theta \left(-\dfrac{1}{r_A^3}+\dfrac{1}{r_B^3}\right)

M_z=d\sin \theta\left(\vec{AB}\cdot\vec{\rm{grad}}\left(\dfrac{1}{r^3}\right)\right)

M_z=d\sin \theta \left(\vec{AB}\cdot\left(- 3\dfrac{\vec{r}}{r^4}\right)\right)

M_z=-6d^2\sin \theta\cos \theta \dfrac{1}{r^3}

Posté par
gts2re : Modèle de satellite en haltère 14-03-25 à 10:21

Autres remarques :

Dans le référentiel barycentrique, c'est ensuite immédiat M=I\dot \theta

Dans le référentiel géocentrique, le point O est mobile, donc il faut faire attention.


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