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Milieu resistant et décélération

Posté par
IamMe 27-09-20 à 15:00

Bonjour, j'ai une question sur un exercice :

Un mobile M animé d'une vitesse horizontale constante v0(vecteur v = vo*ex), pénètre dans un milieu résistant au point O dans lequel il est soumis à une accélération vecteur a =−kv(t)^2*ex, où k est une constante positive.

1 .Quelles sont les unités de k ?

2 .Établir la loi de vitesse, en prenant l'origine des temps au moment où M est en O.

3 .En déduire l'expression de la position x(t) en fonction du temps.

4 .Montrer qu'après  avoir parcouru une distance x, la vitesse est v=v0e^-kx.

1.Alors a est une accélération donc en m.s-2. v(t) c'est des m.s-1 donc v^2 c'est des m^2.s-2.

Du coup je dirai que k doit être des m-1

2.Pour la 2 c'est un peu compliqué de trouver la vitesse. En effet on ne peut pas (je crois ?) Juste faire une primitive de a. En effet a a dans sa valeur v(t).

Je pensais faire plutôt un truc comme ça.

dv(t)/dt = -kv(t)^2
dv/dt + kv(t)^2 = 0
Le truc c'est qu'on n'a pas encore fait les équations différentielles (je les ai un peu vu au lycée mais rapidement). Du coup est ce qu'il y aurait une autre méthode ? Merci.

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:07

Bonjour
k est homogène à une accélération divisée par le carré d'une vitesse...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:10

Super même là j'ai faux...

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:17

Concernant l'équation différentielle : \frac{dv}{dt}=-k.v^{2} , tu peux séparer les variables de la façon suivante :

\dfrac{dv}{v^{2}}=-k.dt

En intégrant par rapport à v à gauche et par rapport à t à droite, tu obtiens la réponse à une constante près puisque les primitives ne se définissent qu'à une constante près. Tu peux obtenir la constante adaptée au problème en raisonnant sur le cas particulier de l'instant initial.

\int\dfrac{dv}{v^{2}}=-k\cdot\int dt+constante

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:20

Citation :
Super même là j'ai faux...

Je n'ai pas écrit que ta réponse est fausse. Je voulais juste fournir une justification...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:21

Heu par contre je vois pas pourquoi k c'est pas des m-1 :

\huge \frac{\frac{m}{s^{2}}}{\frac{m^{2}}{s^{2}}} = \frac{m}{s^{2}} * \frac{s^{2}}{m^{2}} = 1/m = m^{-1}

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:21

vanoise @ 27-09-2020 à 15:20

Citation :
Super même là j'ai faux...

Je n'ai pas écrit que ta réponse est fausse. Je voulais juste fournir une justification...
Ahhhh ! d'accord

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:22

vanoise @ 27-09-2020 à 15:17

Concernant l'équation différentielle : \frac{dv}{dt}=-k.v^{2} , tu peux séparer les variables de la façon suivante :

\dfrac{dv}{v^{2}}=-k.dt

En intégrant par rapport à v à gauche et par rapport à t à droite, tu obtiens la réponse à une constante près puisque les primitives ne se définissent qu'à une constante près. Tu peux obtenir la constante adaptée au problème en raisonnant sur le cas particulier de l'instant initial.

\int\dfrac{dv}{v^{2}}=-k\cdot\int dt+constante


Je ne comprends pas  \dfrac{dv}{v^{2}}

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:34

Suppose que ton professeur de math te demande de calculer :
une primitive de 1/x2 :

\int\dfrac{dx}{x^{2}}
Tu connais sans doute la réponse... Et bien ici : la variable est v et pas x. Attention : ce "x" du cours de math n'a rien à voir avec le "x" des questions suivantes...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:37

Ah mais en fait j'ai pas cette notation. J'ai plutôt :
\large \int_{}^{}{\frac{1}{x^{2}}}dx

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:37

J'ai juste du mal à faire le lien...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:42

Sauf que v c'est v(t) et je sais pas ce que vaut v...

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:45

C'est la même chose : quelle est la primitive de 1/x2 si la variable d'intégration est x ? Ayant la réponse, il suffit de remplacer la variable x par la variable v.
Évidemment :

\frac{1}{b}\cdot a=\frac{a}{b} !!!

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:47

vanoise @ 27-09-2020 à 15:17



\int dt+constante


Et comme je trouve une primitive de dt ?

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:56

Pas sur que tu sois bien à l'aise en math avec les primitives et les intégrales. Il s'agit là de trouver une primitive de "1", la variable étant t. Si la variable était "x" comme en math, que vaudrait une primitive de "1" ?

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:58

Bah j'ai jamais utilisé les intégrales comme ça...

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 15:59

On note indifféremment v ou v(t). Noter v(t) est juste une façon de préciser que la vitesse dépend de t mais on peut se contenter de noter v dans un problème où on sait dès le départ que la vitesse varie au cours du temps ...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 16:00

Du coup  :
-1/v = -kt + vo ?

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 16:03

Presque ! à t=0 : 1/v=1/vo

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 18:27

Je suis pas sûr de comprendre...

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 27-09-20 à 23:28

Tu es arrivé à :

\frac{1}{v}=k.t+C avec C : constante.

Il suffit d'appliquer cette formule au cas particulier de l'instant initial pour obtenir la constante :

\frac{1}{v_{o}}=0+C

D'où l'expression de la vitesse en fonction du temps :

\frac{1}{v}=k.t+\frac{1}{v_{o}}

Je te laisse en déduire l'expression v=f(t)...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 28-09-20 à 11:06

Pourquoi c'est pas plutôt à t=0 :
1/v = vo ?

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 28-09-20 à 11:09

vanoise @ 27-09-2020 à 23:28

Tu es arrivé à :

\frac{1}{v}=k.t+C avec C : constante.

\frac{1}{v_{o}}=0+C
.


C'est pas plutôt :
-\frac{1}{v}=-k.t+C avec C : constante ?

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 28-09-20 à 11:21

Les mathématiques...
L'intégration conduit effectivement dans un premier temps à :

-\frac{1}{v}=-k.t+Constante

Tu obtiens une égalité en multipliant tous les termes de l'égalité précédente par (-1) et (-Constante) est aussi une constante que j'ai notée C...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 28-09-20 à 11:21

Sinon x(t) = \large \frac{1}{k}ln(kvot+1)

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 28-09-20 à 11:26

Comment justifies-tu ce résultat ?

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 28-09-20 à 11:34

C'est une primitive de v

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 28-09-20 à 14:12

C'est effectivement une primitive de v par rapport à t. Comment gères-tu la constante puisque tu sais qu'une primitive n'est définie qu'à une constante près...

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 29-09-20 à 15:42

A t=0 on est à l'origine

Posté par
IamMere : Milieu resistant et décélération 29-09-20 à 15:48

En revanche pour la 4ème question je ne vois pas comment faire...

Posté par
vanoisere : Milieu resistant et décélération 29-09-20 à 16:16

\left(k.v_{o}.t+1\right) s'exprime simplement en fonction d'une exponentielle de (k.x).

Or, selon la question 2, \left(k.v_{o}.t+1\right) s'exprime simplement en fonction de \frac{v}{v_{o}} . En identifiant...


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